新高考数学一轮复习考点题型训练 8.7抛物线方程及其性质（精讲）（原卷版）.doc

8.7抛物线方程及其性质

【题型解读】

【知识必备】

1．抛物线的概念

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

焦点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

对称轴

x轴

y轴

顶点

(0,0)

离心率

e＝1

常用结论

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；

(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；

(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

【题型精讲】

【题型一抛物线的定义及应用】

方法技巧处理抛物线定义的技巧

“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．

例1（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（???????）

A．4 B．3 C． D．

例2（2022·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

例3（2022·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【跟踪精练】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（???????）

A． B． C． D．

2.(2022·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．

3.（2022·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．

【题型二抛物线的方程】

例4（2022·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）

A．或 B．或

C．或 D．或

例5（2022·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（）

A． B． C． D．

【跟踪精练】

1．（2022·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（）

A． B． C． D．

2．（2022·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（）．

A． B．

C． D．

【题型三抛物线的焦点弦问题】

方法技巧焦点弦的结论

（1）．

（2）．

（3）．

例6（2022·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（????）

A．2 B． C． D．4

例7（2022·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（????）

A．23 B．26 C．36 D．62

例8设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()

A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)

C.eq