2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷【含答案】.doc

2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，，则A∩B＝（）

A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}

2．（5分）函数是（）

A．奇函数

B．偶函数

C．既非奇函数也非偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

3．（5分）已知直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于（）

A． B． C． D．或

4．（5分）将函数y＝sinx的图像向左平移φ（0＜φ＜2π）个单位，得到函数y＝g（x）的图像，则“y＝g（x）是偶函数”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知向量，若，则t＝（）

A．1或 B．﹣2或 C．﹣1或2 D．﹣2或1

6．（5分）设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（）

A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c

7．（5分）已知，则λ＝（）

A．1 B． C． D．2

8．（5分）对?x∈[1，+∞），不等式（（lnax）2﹣1）（ex﹣b）≥0恒成立，则（）

A．若，则b≤e B．若，则b＞e

C．若，则ab＝ee D．若，则ba＝ee

二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

9．（6分）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是（）

A． B．

C． D．

（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax（x≥0），则（）

A．若f（x）min＝f（1），则a＝1

B．若f（x）min＝f（1），则

C．若a＝1，则f（x）在（0，1）上单调递减

D．若，则f（x）在（1，3）上单调递增

（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），则（）

A．f（1）＝0 B．f（f（x））＝x

C．f（xy）＝f（x）f（y） D．f（x+y）＝f（x）f（y）

三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）曲线y＝lnx在点M（e，1）处切线的方程为．

13．（5分）已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①；②|z1z2|＝2，则z1＝，z2＝．（写出满足条件的一组z1和z2）

14．（5分）已知双曲线C1，C2都经过点（1，1），离心率分别记为e1，e2，设双曲线C1，C2的渐近线分别为y＝±k1x和y＝±k2x．若k1k2＝1，则＝．

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．已知在△ABC中，．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）若点D在AB边上，且BD＝2AD．若CD＝2，求△ACD的面积．

16．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为．

（1）求C的方程；

（2）若点（﹣1，1）关于直线y＝kx对称的点在C上，求k的值．

17．一设随机变量X所有可能的取值为x1，x2，?，xn，P（X＝xi）＝pi＞0（i＝1，2，?，n），且p1+p2?+pn＝1．定义事件X＝xi的信息量为Hi＝﹣lnpi，称X的平均信息量H（X）＝﹣（p1lnp1+p2lnp2+?+pnlnpn）为信息熵．

（1）若n＝3，pk+1＝2pk（k＝1，2），求此时的信息熵；

（2）最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定．证明：H（X）≤lnn，并解释等号成立时的实际意义．

（参考不等式：若f（x）＝lnx，则

18．已知函数f（x）＝axlnx﹣x3﹣1．

（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；

（2）若0≤a≤3，求证：f（x）＜0；

（3）若使得h（x1）＝h（x2）＝b，求证：be+1＜|x1﹣x2|＜b+1．

19．已知正项有穷数列A：a1，a2，?，aN（N≥3），设，记T的元素个数为P（T）．

（1）若数列A：1，2，4，16，求集合T，并写出P（T）的值；

（2）若A是递增数