湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期自主练习卷（开学考试）数学试题.docxVIP

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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期自主练习卷（开学考试）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为虚数单位，若，则（????）

A． B．2 C． D．

2．在等比数列中，，则公比（????）

A． B． C．3 D．13

3．已知，，，，则（????）

A． B． C． D．

4．将名男生名女生共名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（????）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．2 D．3

6．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（????）

A．2 B．3 C． D．

7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（????）

A． B． C． D．

8．若过点可以作曲线的三条切线，则（???）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（????）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．若，则函数的值域为

D．函数的单调递减区间为

10．已知函数，则（???）

A．为的极大值点

B．的图象关于中心对称

C．，

D．函数的三个零点成等差数列

11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（????）

A．曲线关于直线对称

B．曲线有4个顶点

C．曲线与直线有4个交点

D．曲线上动点到原点距离的最小值为

三、填空题

12．设，且函数是偶函数，若，则

13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点（，分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆于点.若，，则椭圆的离心率为.

14．已知，函数恒成立，则的最大值为.

四、解答题

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求的大小；

(2)若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值．

16．如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中

(1)若平面，求的值；

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知函数，其中为常数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求的值.

18．已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为．

(1)求抛物线的方程；

(2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于（在第一象限）．

①求证：点在定直线上；

②记的面积分别为，当时，求点的坐标．

19．设为正整数，集合，集合为的一个非空子集，记，其中.

(1)若，，求的取值的集合；

(2)证明：的所有可能取值个数为；

(3)是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求；若不存在，说明理由.

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《湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期自主练习卷（开学考试）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

D

C

D

A

D

AD

ABD

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.

【详解】因为，所以，

.

故选：B.

2．C

【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出.

【详解】，

∴，

故选：C.

3．C

【分析】根据条件可得，结合两角和的正弦公式可得结果.

【详解】∵，∴，

∵，∴，∴，

∴，

∴，

∵，

∴，故.

故选：C.

4．D

【分析】先求出分配方案的总方法数，再求出恰好一名女生和一名男生分到甲社区的方法数为，然后由概率公式计算出概率．

【详解】分配方案的总数，恰好一名女生和一名男生分法有，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是，

故选：D.

5．C

【分析】利用圆的弦长转化到圆心到直线的距离，然后用点到直线的距离公式即可求渐近线斜率，从而可求离心率.

【详解】设弦心距，则，得：，

令，则渐近线为，，得：，

所以，

故选：C．

6．D

【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到含的项为，从而得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】因为，