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直线的方向向量和平面的法向量

2研究从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.

OP

ABP

PO

6为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？1、直线的方向向量直线上的非零向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量

例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法1:法2:即可用与线性表示,故与是共面向量,∴MN∥平面A1BD

如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.二、平面的法向量(1)定义

(2)理解1.平面的法向量是非零向量;2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;二、平面的法向量3.向量是平面的法向量，若∥，则有

A给定一点A和一个向量,那么过点A以向量为法向量的平面是完全确定的.二、平面的法向量(3)法向量确定平面的位置

二、平面的法向量

12例2在正方体中，求证：是平面的一个法向量.

13待定系数法求平面的法向量

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三、用方向向量和法向量判定位置关系

三、用方向向量和法向量判定位置关系

例如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法3:建立如下图的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为1,那么可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是设平面A1BD的法向量是则得取x=1,得y=-1,z=-1,∴

练习一1.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行

练习二1.设分别是平面α,β的法向量,根据以下条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交

练习三1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),假设，那么k=；假设那么k=。2、，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),那么m=.3、假设的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，那么m=.4-5-84

一、平行关系：课时小结

二、垂直关系：