专题01 柯西不等式与权方和不等式（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（教师版） 2025年高三数学高考二轮复习专项提升（全国通用版）.pdf

专题01柯西不等式与权方和不等式

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题型01二维形式下的柯西不等式1

题型02三维形式下的柯西不等式4

题型03权方和不等式10

题型01二维形式下的柯西不等式

·

【解题规律提分快招】

1.二维形式的柯西不等式

22222

(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(3)(ab)(cd)(acbd)2(a,b,c,d0,当且仅当adbc时，等号成立.)

【典例训练】

一、单选题

1Cauchy“”,

．柯西不等式是数学家柯西（）在研究数学分析中的流数问题时得到的一个重要不等式而柯西不

rrrrrr

:ax,y,bx,y,ab£ab

等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的已知向量1122由得到

22222

(xxyy)£(xy)(xy),xyxy.a0,b0,ab5,

12121122当且仅当1221时取等号现已知则2a2b3

的最大值为（）

A．18B．9C．23D．33

D

【答案】

(xxyy)2£(x2y2)(x2y2),x2,y1,xa1,yb3,

【分析】根据12121122令1122代入公式结合已知条件

a0b0ab5

,,即可得到结果.

(xxyy)2£(x2y2)(x2y2),

【详解】因为12121122

令x12,y11,x2a1,y2b3,又a0,b0,ab5,

222

é2ù

所以2a2b32a11b3£ê21ú