新高考数学一轮复习考点题型训练 5.5平面向量中的最值、范围问题（精讲）（解析版）.doc

5.5平面向量中的最值、范围问题

【题型解读】

【知识必备】

一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．

二、平面向量范围与最值问题常用方法：

（1）坐标法

第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步:将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

（2）基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

（3）几何意义法

第一步:先确定向量所表达的点的轨迹

第二步:根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

【题型精讲】

【题型一平面向量数量积的最值范围问题】

必备技巧数量积的最值范围处理方法

（1）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算，

（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，

（3）利用极化恒等式来处理.

例1（2022·河南高三月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为

A．18 B．24 C．36 D．48

【答案】C

【解答】

据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，故，

，故

【法二】：如图建立平面直角坐标系：

则，，．可设，

所以，．

故

．

故选：．

例2（2022·陕西·交大附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.

【答案】

【解析】如下图所示：

设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，

，

当为正方形的某边的中点时，，

当与正方形的顶点重合时，，即，

因此，.

故答案为：.

【跟踪精练】

1.（2022·山东·山师附中模拟预测）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是

【答案】6

【解答】解：如图，取中点，连接，，，则：

；

；

当，即同向时取“”；

的最大值为6．

故答案为：6．

2.（2022·云南玉溪·高三月考）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.???

【答案】

【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，

如图所示：

则，，，

，即.

，

当时，取得最小值，此时，

所以.

当与重合时，，，

则，

当与重合时，，，

则，

所以，即的取值范围为.

故答案为：

【题型二平面向量模的最值范围问题】

方法技巧模的最值范围处理方法

设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．

例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（）

【答案】C

【解析】建系

A，B，C,设P

，,

，

则P到距离为1，则最小值为

例4（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量，满足，，则的最大值为______.

【答案】

【解析】设向量的夹角为，

，

，

则，

令，

则，

据此可得：，

即的最大值是

故答案为：.

【跟踪精练】

1.（2022·全国·高三课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（???????）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】当时，取得最小值，因为，

所以此时点为线段的中点，

因为，所以，故，

则，

因为，

故．

故选：B.

2.（2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．

【答案】

【解析】∵，,∴，

如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，

则平面向量+的终点N到O的距离为2，

设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上.

由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上，

当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就