江西省丰城中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

丰城中学2024-2025学年下学期高二入学考试试卷

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.圆关于直线对称，则的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解.

【详解】由圆可得标准方程为，

因为圆关于直线对称，

该直线经过圆心，即，，

，

当且仅当即时取等号，

所以的最小值为.

故选：C.

2.设随机变量服从正态分布，若，则实数（）

A. B.1 C.2 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用正态分布的对称性可得答案.

详解】，得：.

故选：C．

3.甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（）

A.24种 B.30种 C.36种 D.42种

【答案】B

【解析】

【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案.

【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案，

当甲或乙有一人和丙丁中一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案，

故不同的分配方案共有种，

故选：B

4.对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】取分别赋值，作差后化简即可得解.

【详解】由题意可得，

令，得，

令，得，

两式作差，可得，

故．

故选：B．

5.设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据统计量的几何意义，为避免在代数上出现正负相抵的情况，需要有绝对值或平方，题干中要求选“不能刻画”的，从而选出符合题意的选项.

【详解】统计量和可以刻画数据点与直线的竖直距离，

进而可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，AC选项不符合题意．

统计量可以刻画数据点与直线的距离，

也可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，B选项不符合题意．

统计量的计算会出现直线两侧的数据点在代数上正负抵消的情况，

因此不能刻画数据与直线的“整体接近程度”，D选项符合题意．

故选：D.

6.在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程.

【详解】设，，.

因为，所以.

已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：.

已知，，则直线的方程为.

因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程.

对于直线的方程，可得.

对于直线的方程，可得.

又因为，所以，即.

故选：D.

7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，连接并延长交线段于点，，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知为的角平分线，推导出，可得出，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值.

【详解】如图，连接、，是的内心，

则、分别是和的角平分线，为的角平分线，

所以到直线、的距离相等，

得，同理可得，

由比例关系性质可知．

又因为，所以椭圆的离心率.

故选：C．

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8.三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解

【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，

又，且

所以，所以,

取的中点，易得,又

所以平面，又平面，所以平面平面，

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，

令，所以，

因为，所以，所以，

所以，

因为直线AC与BD所