2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题27.2 相似三角形判定与性质的综合（解析版）.docxVIP

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专题27.2相似三角形判定与性质的综合

【典例1】在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，连接AE、DE，DE=DC．

??

（1）如图1，若DE⊥DC，连接AC，求证：△ABC∽△DEA；

（2）如图2，点F是边CD的中点；

①若BF∥AD，求

②直接写出BG:GH:HF的值．

【思路点拨】

（1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求DEAB=22，

（2）①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，利用三线合一的性质求出EM=CM=12CE=1，证明四边形ABND是平行四边形，得出DN=AB=2，利用三角形中位线定理得出∴MF∥DE，MF=12DE，可证△BEH∽△BMF，得出EHMF=BEBM=22+1=

②过E作EQ∥MN交BF于Q，可证△BEQ∽△BMN，求出EQ=1，证明△EQH∽△DNH，得出QHNH=EQDN=12，设QH=x，则NH=2x，QN=3x，利用平行线分线段成比例可求BQQN=BEME=2，

【解题过程】

（1）证明：∵∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，

∴BE=AB=2=CE，∠AEB=∠BAE=45°，

∴AE=AB+B

∵DE=DC，DE⊥DC，

∴DE2+D

∴DE=DC=2

∴DEAB=2

∴DEAB

∵∠AEB=45°，∠CED=45°，

∴∠AED=90°=∠ABC，

∴△ABC∽△DEA；

（2）解：①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，

??，

又DE=DC，

∴EM=CM=1

又∠ABC=90°，

∴AB∥

又BF∥

∴四边形ABND是平行四边形，

∴DN=AB=2，

∵F是AC中点，EM=CM，

∴MF∥DE，

∴△BEH∽△BMF，

∴EHMF

设EH=2a，则MF=3a，DE=CD=6a，

∴DH=DE?HE=4a，

∵MF∥

∴△NFN∽△DHN，

∴MFDH=MN

∴MN=3

∴DM=DN+MN=7

∴CD=D

②过E作EQ∥MN交BF于

??，

∴△BEQ∽△BMN，

∴EQMN=BE

∴EQ=1，

∵EQ∥MN，

∴△EQH∽△DNH，EQ∥

∴QHNH

设QH=x，则NH=2x，QN=3x，

∵EQ∥

∴BQQN

∴BQ=6x，

∴BH=7x，

∵MF∥

∴BHHF

∴HF=7

∵EQ∥

∴△ABG∽△EQG，

∴BGGQ

∴BG=21+2BQ=4x

∴GH=3x，

∴BG:GH:HF=4x:3x:7

1．（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）如图，在△ACB和△ABD中，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝BC＝2，AB＝BD，P为AC上一点（不与点A、

??

（1）求证：PB＝

（2）求证：AP+AQ＝

（3）如图2，若P为AC的中点，连接CQ分别交BP、AB于点E、F，求S△BEF

【思路点拨】

（1）只要证明△ABP≌△DBQ（ASA

（2）如图1中，作BG⊥AD于G．首先证明四边形ACBG是正方形，再利用直角三角形斜边中线的性质，证明AD＝

（3）如图2中，作BG⊥AD于G，交CQ于H，连接AE．由△PCE∽△BHE，△ACF∽△BHF，推出PEBE=PCBH=34，AFBF=ACBH

【解题过程】

（1）证明：如图1中，

??

∵∠C

∴∠BAP

∵PB⊥BQ

∴∠PBQ

∴∠ABP

∵BA

∴△ABP≌△DBQ（

∴PB

（2）证明：如图1中，作BG⊥AD于G．

∵△ACB，

∴∠BAD

∴∠CAG

∵∠C

∴四边形ACBG是矩形，

∵AC

∴四边形ACBG是正方形，

∴BC

∵∠ABD

∴BG

∴AD

∵△ABP≌△DBQ

∴AP

∴AP+AQ

（3）解：如图2中，作BG⊥AD于G，交CQ于H，连接AE．

??

∵P为AC中点，BG＝

∴AP

∵GQ∥BC

∴△GHQ∽△BHC

∴CQBC

∴BH

∵PC∥BH

∴△PCE∽△BHE

∴PEBE=PC

∴S△APES△AEB

设S△BEF

∴

∴S△BEF

2．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：菱形ABCD中，AB=3，AC=2，AC与BD交于点O，点E为BD

??

（1）求BD的长；

（2）若AE⊥AB，求证：OE=DE；

（3）若点E在线段OB上（不与O、B重合），以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在菱形的边上，画出图形并求OE的长．

【思路点拨】

（1）四边形ABCD是菱形，AO⊥BD，AO=12AC=1

（2）由AE⊥AB，AO⊥BE，证明△AOE∽△BOA，根据相似三角形的性质即可求解．

（3）如图，当点F在BC边上时，延长AE交BC于点H，AH⊥BC，则∠EAD=90°，由（2）可知OE=22，进而即可求解；当点F落在CD边上时，证明

【解题过程