2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题27.2 相似三角形判定与性质的综合（原卷版）.docxVIP

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专题27.2相似三角形判定与性质的综合

【典例1】在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，连接AE、DE，DE=DC．

??

（1）如图1，若DE⊥DC，连接AC，求证：△ABC∽△DEA；

（2）如图2，点F是边CD的中点；

①若BF∥AD，求

②直接写出BG:GH:HF的值．

【思路点拨】

（1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求DEAB=22，

（2）①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，利用三线合一的性质求出EM=CM=12CE=1，证明四边形ABND是平行四边形，得出DN=AB=2，利用三角形中位线定理得出∴MF∥DE，MF=12DE，可证△BEH∽△BMF，得出EHMF=BEBM=22+1=

②过E作EQ∥MN交BF于Q，可证△BEQ∽△BMN，求出EQ=1，证明△EQH∽△DNH，得出QHNH=EQDN=12，设QH=x，则NH=2x，QN=3x，利用平行线分线段成比例可求BQQN=BEME=2，

【解题过程】

（1）证明：∵∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，

∴BE=AB=2=CE，∠AEB=∠BAE=45°，

∴AE=AB+B

∵DE=DC，DE⊥DC，

∴DE2+D

∴DE=DC=2

∴DEAB=2

∴DEAB

∵∠AEB=45°，∠CED=45°，

∴∠AED=90°=∠ABC，

∴△ABC∽△DEA；

（2）解：①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，

??，

又DE=DC，

∴EM=CM=1

又∠ABC=90°，

∴AB∥

又BF∥

∴四边形ABND是平行四边形，

∴DN=AB=2，

∵F是AC中点，EM=CM，

∴MF∥DE，

∴△BEH∽△BMF，

∴EHMF

设EH=2a，则MF=3a，DE=CD=6a，

∴DH=DE?HE=4a，

∵MF∥

∴△NFN∽△DHN，

∴MFDH=MN

∴MN=3

∴DM=DN+MN=7

∴CD=D

②过E作EQ∥MN交BF于

??，

∴△BEQ∽△BMN，

∴EQMN=BE

∴EQ=1，

∵EQ∥MN，

∴△EQH∽△DNH，EQ∥

∴QHNH

设QH=x，则NH=2x，QN=3x，

∵EQ∥

∴BQQN

∴BQ=6x，

∴BH=7x，

∵MF∥

∴BHHF

∴HF=7

∵EQ∥

∴△ABG∽△EQG，

∴BGGQ

∴BG=21+2BQ=4x

∴GH=3x，

∴BG:GH:HF=4x:3x:7

1．（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）如图，在△ACB和△ABD中，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝BC＝2，AB＝BD，P为AC上一点（不与点A、

??

（1）求证：PB＝

（2）求证：AP+AQ＝

（3）如图2，若P为AC的中点，连接CQ分别交BP、AB于点E、F，求S△BEF

2．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：菱形ABCD中，AB=3，AC=2，AC与BD交于点O，点E为BD

??

（1）求BD的长；

（2）若AE⊥AB，求证：OE=DE；

（3）若点E在线段OB上（不与O、B重合），以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在菱形的边上，画出图形并求OE的长．

3．（2023·山东临沂·统考二模）综合与实践

问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．老师给同学准备了一些A4纸，已知A4纸的长宽之比为2:1

操作探究：如图1，将A4纸ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点D′落在边BC上展开后折痕AE交CD于点E

????

（1）∠AD

（2）求证：DE=2

（3）拓展延伸：如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点B′落在AD′上，展开后折痕交BC于点F，连接EF

4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，作BE⊥CD交CD的于F

??

（1）求证：∠ABC=∠BEC；

（2）如图2，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，若AE=BC

①求证：△GEA≌△ABC；

②求DFCF

5．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）点E在矩形ABCD的对角线BD上，DF⊥AE于点G，交AB于点F．

??

（1）如图1，若DB平分∠CDF，求证：AD=AE；

（2）如图2，取AD的中点M若∠AMF=∠ABM，求BEDE

（3）如图3，过BD的中点O作PQ⊥AB于点P，延长PO交CD于点Q，连接EF交OP于点N．若NE=NF，求证：AF

6．（2023春·吉林·九年级专题练习）如图①，在正方形ABCD中，AB=4，M为对角线BD上一点（不与B、D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD