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中科大使用的群论教材汇报人：XXX2025-X-X

目录1.群的基本概念

2.群的表示理论

3.有限群的分类

4.无限群的理论

5.群的同态与同构

6.群的扩张与分裂

7.群的表示与几何

8.群的算法与应用

01群的基本概念

群的定义与性质群的定义群是一类代数结构，由一组元素及一个二元运算组成，满足结合律、单位元存在、逆元存在等性质。例如，整数集在加法运算下构成一个群，包含无穷多个元素。群的性质群具有以下基本性质：封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。例如，在整数集加法运算下，0是单位元，每个整数都有其相反数作为逆元。群的例子常见的群包括循环群、对称群、置换群等。例如，阶数为n的循环群包含n个元素，每个元素都是通过一个固定元素进行n次运算得到。置换群则由所有排列组成，阶数为n的置换群包含n!个元素。

群运算与群表群运算规则群运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c=a*(b*c)。以整数加法为例，(1+2)+3=1+(2+3)。群运算通常涉及具体的运算符号，如加法、乘法等。群表概念群表是表示群运算的一种方式，以矩阵形式展现群中所有元素及其运算结果。一个n阶群表包含n^2个元素，每个元素对应群中两个元素的运算结果。例如，一个3阶群表中会有9个元素。群运算的封闭性群运算的封闭性要求群中任意两个元素的运算结果仍在群内。例如，在整数集加法群中，任意两个整数的和仍然是整数。封闭性确保了群运算在群内部进行，不会产生群外的元素。

群的子群与商群子群的定义子群是群的一个非空子集，它本身也是一个群，并包含原群的单位元。例如，在整数加法群中，所有偶数的集合构成一个子群，因为偶数集合在加法下封闭，存在单位元0，每个元素都有加法逆元。子群的判定一个子集是子群的充分必要条件是它包含原群的单位元，并且对于任意两个子集中的元素a和b，它们的运算结果a*b也在子集中。例如，在对称群S3中，包含元素(12)的子集是子群，因为(12)*(12)=e，其中e是单位元。商群的概念商群是群论中的一个重要概念，它是通过群的同态映射来定义的。给定一个群G和一个子群N，商群G/N由G中与N中元素同余的元素组成。商群中的运算定义为同态映射下的同余类运算。例如，整数加法群Z的商群Z/2Z由所有偶数构成，运算规则是模2加法。

循环群与置换群循环群的性质循环群是最简单的群之一，由一个生成元和它的整数倍组成。循环群的阶数是生成元重复一次运算所得到的元素的个数。例如，整数集加法群Z_6，由元素0,1,2,3,4,5组成，其中元素1是生成元，阶数为6。置换群简介置换群是所有排列构成的群，阶数等于排列的个数，即n的阶置换群包含n!个元素，n为集合中元素的个数。例如，集合{1,2,3}上的置换群S_3包含6个置换，包括所有三个元素的排列。循环群与置换群的关系循环群可以看作是置换群的一个特例。例如，n阶循环群Z_n在置换群S_n中对应于由n个元素构成的循环置换。而置换群中的每个循环都可以对应于一个循环群，即每个循环的阶数决定了其对应的循环群的阶数。

02群的表示理论

群的表示及其基本性质表示的定义群的表示是指将群的元素映射到某个向量空间或矩阵空间的线性映射。这种映射保持了群运算的性质，使得群论的研究可以通过线性代数的工具来进行。例如，一个3阶群G的表示可以将群中的每个元素映射到复数域上的一个3x3矩阵。表示的维度群的表示的维度是指表示中向量空间的维数。例如，一个表示维度为d的群，其对应的向量空间可以容纳d维向量。表示的维度反映了群结构中元素间相互关系的复杂性，一个群可以有不同维度的表示。不可约表示不可约表示是指不能进一步分解为更简单表示的表示。在群论中，不可约表示是非常重要的，因为它们提供了群结构的信息。例如，一个群可能有多个不同维度的不可约表示，每个表示都对应于群的不同方面。

线性表示与矩阵表示线性表示基础线性表示是群论中的一种重要工具，它将群的元素映射到线性空间中的向量。这种映射保持群的运算性质，使得群论问题可以通过线性代数的方法解决。例如，一个3阶循环群的线性表示可以映射到3维向量空间。矩阵表示方法矩阵表示是线性表示的一种具体形式，它将群的元素映射到矩阵空间中的矩阵。每个矩阵对应群的一个元素，矩阵的乘法对应群的运算。例如，一个群元素a的矩阵表示可以是[1,a;0,1]，其中a是群的元素。矩阵表示的应用矩阵表示在群论中有着广泛的应用，如计算群的子群、商群和同态等。例如，通过矩阵表示，可以方便地计算群的不可约表示，这对于理解群的几何和代数性质至关重要。

表示的分解与不可约表示表示的分解表示的分解是指将一个群的表示分解为若干不可约表示的直和。这种分解是群论中一个基本工具，它可以帮助我们理解和分类