2025年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与相似三角形综合.docx

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2025年九年级中考数学压轴题训练

二次函数与相似三角形综合

1．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．

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(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标．

2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．

(1)求点A，B，C的坐标．

(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．

(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

3．综合与探究

如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．

(1)求点A，B，C的坐标．

(2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值．

(3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标．

4．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，连接．

(1)求二次函数解析式；

(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值．

②如图2，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标．

5．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是坐标原点，已点的坐标是，．

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(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；

(3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标．

6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．

(1)求该抛物线的函数表达式．

(2)求线段的最大值．

(3)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标．

7．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在一点P，使得以C、P、E为顶点的三角形相似，如果存在求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，交轴于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；

(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上运动时，连接，，，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大，求四边形的面积最大值；

(3)如图2，当点在轴上方运动时，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值，请说明理由；

(4)如图3，过点作轴的平行线交直线于点，过点、作轴的平行线交抛物线的对称轴于点、，过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值．

9．如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标．

(2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．

(3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标．

10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，．

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(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求外接圆半径；

(3)如图2，C与的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上的一个动点（不与A、B、C重合），作直线轴于点M，交直线于点N，直线交x轴于点H，连接，是否存在点P，使与相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点P是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点G，当时，求点P的坐标．

(3)如图2，在（2）的条件下，交y轴于点M，分别交于E，F，当直线l绕点M旋转时，，请求出m和n的值．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．

??????

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标；

(3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线