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2022届高考数学压轴题
1．已知函数f（x）＝x（lnx﹣a），g（x）＝ax（x﹣1），a＞0．
（Ⅰ）当a取何值时，在函数g（x）的单调递增区间内函数f（x）也单调递增；
（Ⅱ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个极值点x，x（x＜x）．求证：F（x）﹣
12121
1
F（x）＜．
22
1
【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，函数g（x）的图象开口向上，对称轴为x=，
2
1
故此时函数g（x）的单调递增区间为（，+∞），
2
1
由题意得f′（x）＝lnx﹣a+x•=lnx﹣a+1（x＞0），
a1
﹣
令f′（x）＞0，得lnx＞a﹣1，即x＞e，
a1
﹣
所以函数f（x）的单调递增区间为（e，+∞），
11
a1
要使题意成立，则必有e﹣≤，即a﹣1≤ln=−ln2，
22
所以a≤1﹣ln2，所以0＜a≤1﹣ln2，
所以a的取值范围为（0，1﹣ln2]．
2
（Ⅱ）因为F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x（lnx﹣a）﹣ax（x﹣1）＝xlnx﹣ax（x＞0），
1
所以F′（x）＝lnx+x•−2ax＝lnx+1﹣2ax，
+1
由题意知，x，x是方程lnx+1﹣2ax＝0，即2a=的两个根，
12
+1−
令p（x）=（x＞0），则p′（x）=，
2
当x＞1时，p′（x）＜0，函数p（x）单调递减；
当0＜x＜1时，p′（x）＞0，函数p（x）单调递增，
11
又因为p（）＝0，所以当x∈（0，）时，p（x）＜0；
1
当x∈（，+∞）时，p（x）＞0，
1
＜＜1，x＞1，
又因为p（1）＝1，所以0＜2a＜1，即0＜a
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