北京市第四中学2024-2025学年高二下学期开学测试 数学试题（含解析）.docx

高二数学

（试卷满分150分考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角.

【详解】由题意得直线的斜率为：，所以倾斜角为.

故选：D.

2.双曲线的渐近线方程是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，即可求出渐近线方程．

【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是．

故选：B．

【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线的求法，属于基础题．

3.若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（）

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式的系数和为即可得到方程求解.

【详解】根据的二项式系数和为32，

结合所有二项式系数的和满足，

可知，

故选：A.

4.“”是“直线与圆相切”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.

【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，

设圆心到直线的距离为

则，解得：或.

由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，

故选：A.

5.某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设出方程，代入坐标即可求解.

【详解】设曲线方程为：，

代入点得：①，

代入点得：②，

联立①②解得：，，

所以曲线为双曲线，其方程为：，

离心率，

故选：D.

6.正四面体中，为中点，为的中点，则异面直线与所成的角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AC，得到异面直线EF与AC所成的角，再放入直角三角形中，即可求得.

【详解】

如图，取的中点G,连接,因为分别为的中点，

所以,

所以为异面直线与所成的角，

因为四面体为正四面体，,

过点A作平面,垂足为O，则O为三角形的重心，,

因为,平面,又平面,

,在直角三角形中，

，

故选：C

7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）

A.12种 B.18种 C.24种 D.64种

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，

此时有种情况，

则有种不同的安排方法；

故选C．

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

8.已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）

A.1 B. C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.

【详解】如图示：

过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.

因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.

所以.

又，

所以，所以，

所以.

所以.

由抛物线的定义可得：.

在直角三角形中，,.

由勾股定理可得：，解得：.

故选：C

9.如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法中不正确的是（）

A.存在点，使得 B.存在点，使得

C.对于任意点，三棱锥体积为定值 D.对于任意点，都不是锐角三角形

【答案】AD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，，由两向量平行与垂直求解参数，即可判断选项A，B；利用空间向量法求解点到平面的距离，求解体积即可判断选项C；求解向量，，由夹角余弦值即可判断选项D.

【详解】

如图：建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，

所以，，，设，

所以，，

当时，无解，故A错误；

当时，即，解得，故B正确；

，，

底面正方形中，正方体中平面，

平面，所