湖南省常德市第七中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

湖南省常德市武陵区常德市第七中学2024-2025学年

高二下学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则

A． B． C． D．

3．中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).

节气

冬至

小寒

(大雪)

大寒

(小雪)

立春

(立冬)

雨水

(霜降)

惊蛰

(寒露)

春分

(秋分)

晷影

长/寸

135.0

125.

115.1

105.2

95.3

85.4

75.5

节气

清明

(白露)

谷雨

(处暑)

立夏

(立秋)

小满

(大暑)

芒种

(小暑)

夏至

晷影

长/寸

65.5

55.6

45.7

35.8

25.9

16.0

已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（????）

A．105.6寸 B．48寸

C．57.6寸 D．67.2寸

4．某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（????）

A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种

5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（????）

A． B．

C． D．

6．已知，则（???）

A．36 B．40 C．45 D．52

7．四边形中，，，则四边形面积为（????）

A． B． C．2 D．

8．已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确的是（????）

A．若一组数据的方差为2，则的方差为3

B．给定五个数据，则这组数据的分位数是4

C．若事件与事件是相互独立事件，则有

D．若事件与事件是对立事件，则有

10．如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（????）

A．平面 B．平面

C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于

11．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围是．

13．抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A?B两点，且满足，点O为原点，则的面积为.

14．已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为．

四、解答题

15．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.

（1）证明：平面；

（2）若四棱锥的体积为，求的面积.

16．如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值.

17．数列满足：，等比数列的前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项和为，试证明.

18．已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．

(1)求的标准方程．

(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：

（ⅰ）的斜率之积为定值；

（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

C

B

A

A

B

BCD

ABD

题号

11

答案

ABC

1．A

【分析】设，由题意求出的关系式，由圆的性质可求出的最小值.

【详解】解：设，则，

由，表示为以为圆心，为半径的圆，

圆心到原点的距离为，所以圆上点到原点距离最小为，

因为，所以最小值为，

故选:A.

【点睛】本题考查了复数模的求解，考查了转化的思想.本题的关键是将模的最值转化为圆上点到原定距离的最值问题.

2．C

【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】由题设可得，所以或，则，

故选：C．

3．C

【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可.

【详解】设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6.

故选：C

4．C

【分析】根据题意，利用间