2025年高考数学专题复习导数的几何意义（切线问题） .pdf

导数的几何意义（切线问题）

知识回顾：

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限

位置就是曲线在点A的切线.

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一

AA

方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，

AB

观察直线是否稳定在一个位置上.

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数yx3

在1,1处的切线，与曲线有两个公共点.



AA

（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右

B

接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在

Ayx0,0

点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，

通过观察图像可知，当x0左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx，而当

x0右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx，两个不同的方向极限位置不相

同，故yx在0,0处不含切线.

AfxAA

（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点

B

及其附近有定义（包括左边与右边）

2、函数在点处的导数的几何意义是在曲线＝上点，处的切线的斜率瞬

f(x)xf′(x)yf(x)(xf(x))(

0000

时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．

000

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，

也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，

则断开处的边界值也不存在导数.

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前

1

面例子yx在0,0处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只

需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.

x

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存

3

在.例如：yx在0,0处不可导.

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）

中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.

典例：

1

重难点题型突破在某点的切线方程

x1

112014··yxe1,1