2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题26.1 反比例函数的综合（解析版）.docxVIP

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专题26.1反比例函数的综合

【典例1】如图，正比例函数y=12x的图像与反比例函数y=kx

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（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标．

（2）点P为第一象限内反比例函数图像上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，如果△POC的面积为3，求点P的坐标．

（3）点E在y轴上，反比例函数图像上是否存在一点F，使△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）将Aa,?2代入y=12x，可得点A坐标，将A?4,?2代入y=kx，可得k

（2）设Pm,8m，则Cm,1

（3）分∠BFE=90°或∠FBE=90°，分别根据K型全等，表示出点F坐标，从而解决问题．

【解题过程】

（1）解：将Aa,?2代入y=12

解得：a=?4，

∴A?4,?2

将A?4,?2代入y=kx

解得：k=8，

∴反比例函数的解析式为y=8x，

∵点B和点A关于原点对称，

∴B4,2

（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于C，

设Pm,8m

∵S△POC

∴12

当12

解得：m=27或?2

当12

解得：m=2或?2（负值不符合题意，舍去）

∴m=27或2

∴点P的坐标为27,4

（3）存在，当∠BFE=90°时，

当点E在y轴正半轴时，

过点F作FH⊥y轴，过点B作BG⊥HF于点G，

∴∠EHF=∠G=90°，

∵△BEF是以BF为直角边的等腰直角三角形，

∴∠BFG+∠HFE=90°，EF=BF，∠EFB=90°，

∵∠BFG+∠FBG=90°，

∴∠HFE=∠FBG，

在△FBG和△EFH中

∠FBG=∠EFH∠FGB=∠EHF

∴△FBG≌△EFHAAS

∴FG=EH，BG=FH，

设FH=m，

∵B

∴Fm,2+m

∴m2+m

解得：m=2或m=?4（舍去），

∴F2,4

当点E在y轴负半轴时，如图，

过点F作FH∥y轴，过点B作BG⊥FG于点G，过点E作EH⊥FG于点

同样可得△FBG≌△EFH，

∴FG=EH，BG=FH，

设EH=n，

∵B

∴F?n,2?n

∴?n×2?n

解得：n=4或n=?2（舍去），

∴F?4,?2

当∠FBE=90°时，

当点F在第一象限时，

过点B作BH∥y轴，过点E作EG⊥BG于点G，过点F作EH⊥BG于点

同样可得△EBG≌△BFH，

∴EG=BH，BG=FH，

设Fm

∵B

∴8m

解得：m1

∴F4

当点F在第三象限时，

过点B作BH∥y轴，过点E作EH⊥BH于点H，过点F作EG⊥BH于点

同样可得△EBH≌△BFG，

∴EH=BG，HB=GF，

设Fm

∵B

∴8m

解得：m2

∴F?4,?2

综上所述，点F的坐标为2,4或?4,?2或43

1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为8,4．

（1）求此菱形的边长；

（2）若反比例函数y=kxx0的图象经过点A，并且与BC边相交于点D

【思路点拨】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值；

（2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．

【解题过程】

（1）解：如图，

点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，

∵B（8，4），

∴CE=8-x，BE=4，

在Rt△CBE中，CB2=CE2+BE2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5，

∴菱形的边长为5；

（2）解：∵菱形的边长为5，

∴A（3，4），

∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y=12x

（2）∵点C（5，0），B（8，4），

设直线CB的解析式为y=kx+b，

则5k+b=08k+b=4

解得k=4

∴直线CB的解析式为：y=4

由y=

解得x=5+612

∴点D坐标为（5+612，

2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别是反函数y1=kx(k≠0)

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（1）求出k的值，以及一次函数的表达式；

（2）在线段AB上取一点C，

①若使C点是线段AB的三等分点，求出C点的坐标；

②过C点作直线l平行x轴，交反比例函数y1于点D，连接OD、OC，记△OCD的面积为S△OCD，求

【思路点拨】

（1）将A1，4分别代入y1=

（2）①过A点作直线l垂直于x轴，过B点作直线m垂直于y轴，直线l和m相交于E点，由4x=2x+2，求出B?2，?2，从而可得E1，?2，过C点向x轴、y轴作垂线交AE于点F，BE于点，根据C点是线段AB的三等分点，即可得到CF=13BE=1，CG=23AE=4或

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