2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题27.1 由平行截线求相关线段的长或比值（解析版）.docx

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专题27.1由平行截线求相关线段的长或比值

【典例1】矩形ABCD中，AF、CE分别平分∠BAD，∠BCD，并交线段BC，AD于点F，E．当动点P从点A匀速运动到点F时，动点Q恰好从点C匀速运动到点B．记AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣524

（1）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．

（2）求AF，CF的长度．

（3）①当PQ平行于△ECD的一边时，求所有满足条件的x的值．

②连接DB，对角线DB交PQ于点O，若点O恰好为PQ的三等分点，请直接写出x的值．

【思路点拨】

（1）直接利用角平分线的性质再结合矩形的性质进而可得出AF//CE；

（2）由AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣524x＋10.可得BC＝10，AF＝42，根据角平分线的性质再结合矩形的性质求出∠BAF＝45°，可得出BF＝22AF

（3）①分三种情况：PQ//EC；PQ//CD；PQ//ED，根据点P、点Q的位置结合y与x的关系式即可求解；

②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，分两种情况根据平行线分线段成比例定理求解即可．

【解题过程】

解：（1）AF//CE，

理由：∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE＝12∠BAE，∠FCE＝12∠

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAE＝∠FCD＝90°，AD∥BC，

∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED，

∴∠FAE＝∠CED，

∴AF//EC；

（2）∵AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣524

当x＝0时，y＝10，即BC＝10，

当y＝0时，x＝42，此时AP＝42＝AF，

∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝45°，

∴BF＝AF?sin45°＝22AF

∴CF＝BC﹣BF＝6；

（3）①分三种情况：

PQ//EC时，

由（1）可知AF//EC，

∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，

∴此时点Q与点F重合，y＝BQ＝BF＝4，

∴4＝﹣524x＋10．解得：x＝

PQ//CD时，如图：

∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，∠B＝90°，

∴∠AFB＝45°，AB//PQ//CD，

∴PFQF＝APBQ＝

∴xy＝2，即x

解得：x＝202

PQ//ED时，

∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，

∴此时点P与点F重合，x＝AF＝42，

综上，所有满足条件的x的值为1225，202

②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，

∵△ANP是等腰直角三角形，

∴AN＝PN＝GH＝BM＝22x，MQ＝y﹣22

∵点O恰好为PQ的三等分点，

∴分两种情况：

情况一：PO＝13PQ

∵OG//BC，OT//PM，

∴HOMQ=PO

∴HO＝13MQ＝y3?26x，OT＝23

∴OG＝HO＋HG＝y3?26x＋22

∵点O在BD上，

∴OTOG

∴8

解得x=-683

情况二：QO＝13PQ

∴HO＝23MQ＝2y?2x3，OT＝13PM＝

∴OG＝HO＋HG＝2y?2x3＋22x＝﹣2

∵点O在BD上，

∴OTOG

∴4

解得x＝462

∴x的值为462

1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD=CE，EB的延长线交AD于点F．

??

（1）求∠AFE的度数；

（2）延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H，依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．

【思路点拨】

（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠D=∠E，利用外角性质及等量代换即可得证；

（2）在FE上取FM=FG，连接AM,MC，证明△FAB≌△MAC，进而证明FH∥

【解题过程】

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠BCE=120°，

在△ABD和△BCE中，

AB=BC∠ABD=∠BCE

∴△ABD≌△BCESAS，

∴∠D=∠E，

则∠AFE=∠D+∠DBF=∠E+∠CBE=∠ACB=60°．

（2）证明：补全图形，如图所示，在FE上取FM=FG，连接AM,MC，

??

∵∠AFM=60°，AF=FG,FM=FG

∴AF=FM

∴△AFM是等边三角形，

∴∠FAM=∠AMF=60°，AF=AM，

∴∠FAB=∠MAC，

又∵AB=AC，

∴△FAB≌△MACSAS，

∴∠AMC=∠AFB=60°，