2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题27.4 相似三角形的应用（解析版）.docxVIP

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专题27.4相似三角形的应用

【典例1】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm

发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；

探究：若EF=32cm

??

【思路点拨】

发现：证明△AOC∽△EOF，得到∠OAC=∠OEF，即可证明AC∥

探究：过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出ON的值，再证明△ABM∽△OEN，利用相似比求出AM的值，即可获得答案．

【解题过程】

解：发现：AC∥

理由如下：连接AC，如下图，

??

∵立杆AB、CD相交于点O，

∴∠AOC=∠EOF，

又∵OAOE

∴△AOC∽△EOF，

∴∠OAC=∠OEF，

∴AC∥

探究：如下图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N，

??

∵OE=OF=34cm

∴△OEF是等腰三角形，

∴∠OEF=1

∵ON⊥EF，EF=32cm

∴EN=FN=1

在Rt△OEN中，根据勾股定理可得ON=

∵ON⊥EF，AM⊥BD，

∴∠ONE=∠AMB=90°，

∵OA=OC，AB=CD，

∴OB=OD，

∴∠OBD=1

∴∠OBD=∠OEF，

∴△ABM∽△OEN，

∴OEAB=ON

解得AM=120cm

答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．

1．（21·22上·南京·期末）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（????）

A．6m B．7m C．8m D．9m

【思路点拨】

设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

【解题过程】

解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，

∴CD∥

∴△CDE～△AHE，△MNF～△AHF，

∴CDAH=DE

设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，

∴1.2AH=x

∴y=4x，

∴DEEH

∴1.2AH

∴AH=6，

故路灯AH的高度为6m．

故选：A．

2．（22·23下·深圳·模拟预测）如图是物体AB在焦距为acm（即OE=OF=acm）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点A发出的平行于BD的光束折射后经过右焦点F，而经过光心O点的光束不改变方向，最后A点发出的光汇聚于点C，B点发出的光汇聚于点D，从而得到最清晰的实像．若物距OB=bcm，则像距OD

A．a2b?a B．b2b?a C．

【思路点拨】

由题意可得AB∥OG∥CD，AB=OG，易推出△ABO∽△CDO，△GFO∽△CDO，根据相似三角形的性质及AB=OG得ABCD=OG

【解题过程】

解：由题意得：AB∥OG∥

∴∠ABO=∠GOF=∠CDO，∠AOB=∠COD，∠GFO=∠CDF，

∴△ABO∽△CDO，△GFO∽△CDO，

∴ABCD=

∵AB=OG，

∴AB

设DF=xcm，则OD=

∴b

解得：x=a

经检验x=a

∴OD=x+a=a

故选：D．

3．（21·22上·佛山·期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（??）

A．先变长后变短 B．先变短后变长

C．不变 D．先变短后变长再变短

【思路点拨】

连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得DFGH=ADAH.又AB∥CD，得出ABCD=AHDH，设

【解题过程】

解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,

∴四边形CDFE为矩形.

∴DF∥GH,

∴DF

又AB∥CD，∴ABCD

设ABCD

∴DHAH

∴AD

∴DF

∴GH=a·DFa?1

∵a,b的长是定值不变，

∴当人从点C走向点E时两段影子之和GH不变．

故选：C.

4．（22·23·松原·三模）一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（????）

??

A．1cm B．2cm C．3cm

【思路点拨】

如图，BC=8cm，上水面DE∥BC，过点A作AF⊥BC，垂足为F，交DE于点G，则AG=9cm，AB=AC，AD=AE，由等腰三角形三线合一，得BF=CF=12BC=4cm，

【解题过程】

解：如图，BC=8cm，上水面DE∥BC，过点A作AF⊥BC，垂足为F，交DE于点G，