2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题28.3 解直角三角形的应用（解析版）.docx

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专题28.3解直角三角形的应用

【典例1】如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架AB，CD交于点E，支架AB与水平底座MN的夹角∠BAM=60°，AB=CD=30cm，BE:AE=2:3，ED=24cm，灯罩抽象为△DFG，DF=DG=10cm，∠FDG=90°

（1）若支架AB⊥CD，

①求∠CDG的度数；

②求GF与水平底座之间的距离．（结果精确到0.1cm

（2）若在（1）的条件下，将支架CD绕点E旋转，使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，求支架CD的旋转方向及角度．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin

【思路点拨】

（1）①过点D作DK⊥MN，交于点K，求出∠EDK,∠GDH的角度，即可解答；

②过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，根据特殊直角三角形的相关性质，即可解答；

（2）旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6

【解题过程】

（1）①如图（1），过点D作DK⊥MN，交MN的延长线于点K，交GF于点H．

∵GF∥MN，

∴DH⊥GF．

∵DF=DG，∠FDG=90°，

∴∠G=∠GDH=45°．??

∵∠BAM=60°，

∴∠EAK=120°．

∵AB⊥CD，DK⊥MK，

∴∠EDK=360°?90°?120°?90°=60°，

∴∠CDG=∠EDK?∠GDH=15°．??

②解：∵AB=30cm，BE:AE=2:3

∴AE=18cm

如图（1），过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，

∴∠DEQ=90°?60°=30°，EP=QK．

∵ED=24cm

∴DQ=12

∵∠BAM=60°，

∴EP=QK=AE×sin

∵DG=10cm，DH⊥GF，∠G=45°

∴DH=DG×sin45°=10×

∴HK=DQ+QK?DH=12+9

答：GF与水平底座之间的距离约为20.5cm

（2）解：由（1）②可知当AB⊥CD时，CF与水平底座之间的距离约为20.5cm

∴若使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，则需将支架CD绕点E

设需要将CD绕点E逆时针旋转α，旋转后点D的对应点为D′

∵24.1?20.5=3.6cm

∴旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6

过点D′作D′K′⊥MN，垂足为K′，过点

结合（1）②可知D′

∵D

∴sin

∴∠D′

∴α=∠

∴将支架CD绕点E逆时针旋转10.5°，GF与水平底座之间的距离为24.1cm．

1．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为162海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P

??

（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？

（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东α度方向航行确保安全通过这一海域，求α的取值范围．

【思路点拨】

（1）过P作PB⊥于B，则PB的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可；

（2）设轮船沿南偏东航向是射线AC，过点P作PD⊥AC于D，利用特殊角的三角函数值确定答案．

【解题过程】

（1）解：过点P作PB⊥轮船航线于B，则PB的长是A沿方向距离P点的最短距离，

由题意得∠PAB=90°?60°=30°，PA=32，

∴在Rt△PAB中，∠PBA=90°

∴sin∠PAB=

∴PB=16，

∵16162

答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．

（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线AC，过点P作PD⊥AC于D，

当PD=162时，角α

∵在Rt△PAD中，AP=32，

∴sin∠PAD=

∴∠PAD=45°，

∴∠EAD=45°?30°=15°，

∴沿南偏东最大角度为90°?15°=75°方向航行确保安全通过这一海域，

即0α75°时，轮船能安全通过这一区域．

2．（2023·河南周口·校考三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度AB，如图，他们在C处测得顶端A的仰角为38°，沿CB方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆（新馆）的高度AB．（结果精确到1m．参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，

??

【思路点拨】

先延长EF