2024-2025学年湖南省长沙市第一中学高二下学期自主练习卷（开学考试）数学试卷含详解.docxVIP

长沙市第一中学高二自主练习卷

数学

时量：120分钟满分：150分

一,选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位,若,则（）

A. B.2 C. D.

2.在等比数列中,,则公比（）

A. B. C.3 D.13

3.已知,,,,则（）

A. B. C. D.

4.将名男生名女生共名同学分配到甲,乙,丙三个社区参加社会实践,每个社区至少一名同学,则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）

A. B. C. D.

5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1,则双曲线的离心率为（）

A. B. C.2 D.3

6.已知的展开式中的系数为12,则实数的值为（）

A.2 B.3 C. D.

7.已知正方体棱长为2,点为棱的中点,则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（）

A. B. C. D.

8.若过点可以作曲线的三条切线,则（）

A. B.

C D.

二,选择题：本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知函数,则（）

A.函数的图象关于点对称

B.函数的图象关于直线对称

C.若,则函数的值域为

D.函数的单调递减区间为

10.已知函数,则（）

A.为的极大值点

B.的图象关于中心对称

C.,

D.函数的三个零点成等差数列

11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”,“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”,则（）

A.曲线关于直线对称

B.曲线有4个顶点

C.曲线与直线有4个交点

D.曲线上动点到原点距离的最小值为

三,填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.设,且函数是偶函数,若,则______

13.已知椭圆左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点（,分别在第一,四象限）,连接并延长交椭圆于点.若,,则椭圆的离心率为_______________.

14.已知,函数恒成立,则的最大值为______.

四,解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知．

（1）求的大小.

（2）若,,直线PQ分别交AB,BC于P,Q两点,且把的面积分成相等的两部分,求的最小值．

16.如图,在直三棱柱中,,,,E为的中点,点F满足,其中

（1）若平面,求的值.

（2）当时,求平面与平面夹角的余弦值.

17.已知函数,其中为常数.

（1）当时,求函数的单调区间.

（2）若恒成立,求的值.

18.已知是抛物线焦点,过焦点的最短弦长为．

（1）求抛物线的方程.

（2）过动点作抛物线两条切线,切点为,,直线与抛物线交于（在第一象限）．

①求证：点在定直线上.

②记的面积分别为,当时,求点的坐标．

19.设为正整数,集合,集合为的一个非空子集,记,其中.

（1）若,,求的取值的集合.

（2）证明：的所有可能取值个数为.

（3）是否存在,使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列,若存在,求,若不存在,说明理由.

长沙市第一中学高二自主练习卷

数学

时量：120分钟满分：150分

一,选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位,若,则（）

A. B.2 C. D.

【答案】B

【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.

【详解】因为,所以.

.

故选：B.

2.在等比数列中,,则公比（）

A. B. C.3 D.13

【答案】C

【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式,求出.

【详解】.

∴.

故选：C.

3.已知,,,,则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】根据条件可得,结合两角和的正弦公式可得结果.

【详解】∵,∴.

∵,∴,∴.

∴.

∴.

∵.

∴,故.

故选：C.

4.将名男生名女生共名同学分配到甲,乙,丙三个社区参加社会实践,每个社区至少一名同学,则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】先求出分配方案的总方法数,再求出恰好一名女生和一名男生分到甲社区的方法数为,然后由概率公式计算出概率．

【详解】分配方案的总数,恰好一名女生和一名男生分法有,恰好一名女生和一名