上海市静安区丰华中学2025届高三一诊考试数学试卷含解析.doc

上海市静安区丰华中学2025届高三一诊考试数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）

A． B． C．6 D．8

2．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（）

A． B． C． D．

3．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为()

A． B． C． D．

4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A． B．4 C． D．

5．函数的图象可能为（）

A． B．

C． D．

6．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（）

A．4 B． C． D．

7．等差数列中，，，则数列前6项和为（）

A．18 B．24 C．36 D．72

8．设，且，则（）

A． B． C． D．

9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

10．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()

A． B．

C． D．

11．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．

A． B． C．1 D．

12．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的极大值为______.

14．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.

15．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．

16．已知，则_____。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明.

18．（12分）已知函数.

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.

（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.

19．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.

(1)求证:平面；

(2)求三棱锥的体积.

20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.

（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）求的值.

21．（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．

（1）求证：平面；

（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．

22．（10分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．

（1）求的分布列及其期望；

（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；

【详解】

解：∵双曲线的离心率为，

所以，∴，∴，双曲线的焦距为.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

2、A

【解析】

设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．

【详解】

解：设直线为，则，，

而满足，

那么

设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以

故选：．

【点睛】

本题考查导数知识的运用：求单调