新高考数学一轮复习考点题型训练 1.4不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（原卷版）.doc

1.4不等式的性质及一元二次不等式

【题型解读】

【知识储备】

1．不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

注意c的符号

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

同向可加性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,cd))?a＋cb＋d

?

同向同正可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0,cd0))?acbd

?

可乘方性

ab0?anbn(n∈N＋，n1)

a，b同为正数

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N＋，n1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab,a－b＝0?a＝b,a－b0?ab))(a，b∈R)

(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1?ab,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)1?ab))(a∈R，b0)

3．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(a≠0)．

4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0

(a0)的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)

有两个相等的实数根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

5.分式不等式与整式不等式

(1)eq\f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)g(x)0(0)；

(2)eq\f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

【题型精讲】

【题型一不等式性质的应用】

必备技巧判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

(2)利用特殊值法排除错误答案．

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

例1（2022·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，ab，则下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．a2b2

C． D．a|c|b|c|

例2（2022·浙江模拟）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（???????）

A． B． C． D．

【题型精练】

1.（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（???????）

A． B．

C． D．

2．（多选题）（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（???????）

A． B． C． D．

【题型二比较数（式）的大小】

必备技巧比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

例3（2022·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.

例4（2022·湖南·高三课时练习）比较与的大小．

例5（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（???????）

A． B．

C． D．

【题型精练】

1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（???????）

A． B．

C． D．

2.（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

3.（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则(???????)

A． B． C． D．

【题型三不等式性质的应用】

必备技巧不等式性质的应用

求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．

例6（多选）（2022·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（???????）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

例7（2022·江西·二模）已知，，则6x＋5y