安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

高二开学考数学试卷

(120分钟150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x∈Z|-2x≤3}和B={-3,-2,-1,2,3},则A∩B=（）

A.{-2,-1,2,3}

B.{-1,2}

C.{-1,2,3}

D.{-1,0,1,2,3}

2.若z=21+i,则z-=（

A.1-i

B.1+i

12-12

D.12+1

3.若双曲线x2a2-y2b2=λ(λ≠0)的离心率为3

A.y=±x

B.y=±2x

C.y=±3x

D.根据λ的取值变化而变化

4.已知点A(1,1),B(-2,3),若点P在y轴上,且AP⊥BA,则点P的坐标为（）

A.(0,1)

B.(0,-1)

C.(0,12)

D.(0,-12

5.函数f(x)=3x-13x+1·sinx的部分图象

6.已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两点,且A,B,O(O为坐标原点)三点共线,点M(3,-4),则MA·MB=（）

A.1

B.3

C.21

D.25

7.若ex+1+x+2y+1+lny,则（）

A.x+1lny

B.x+1lny

C.x2y

D.x2y

8.在四棱锥S-ABCD中,∠SBA=∠SCA=∠SDA=90°,底面ABCD是正方形,若四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为16π,则四棱锥S-ABCD的体积的最大值为（）

A.643

B.643

C.649

D.64

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.设函数f(x)=sin2x,x∈R,若θ∈[0,2π),函数f(x+θ2)的图象关于x=π6对称,则θ的值可以为（

A.π6

B.7π6

C.π3

D.4π

10.已知a,b是空间内两条不同的直线,α,β是空间内两个不同的平面,则下列说法不正确的有（）

A.若a∥α,α∩β=b,则a∥b

B.若a⊥α,a∥b,b⊥β,则α∥β

C.若α∥β,a∥α,则a∥β

D.若a⊥b,a⊥α,α∥β,则b∥β

11.已知x,y∈R,x·y≠0且x+y0,则下列结论正确的有（）

A.1x+1y

B.cos(x+y)0

C.x2+y

D.x3+y30

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.已知sin(π6-α)=63,则cos(4π3

13.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=f(2+x),且f(1)=3,则f(2022)+f(2023)+f(2024)=.?

14.若直线l1:x+my-2=0与l2:mx-y+2=0(m∈R)相交于点P,点M(4,5),则|PM|的最大值为.?

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos(B-C)+acosA=23bsinCcosA.

(1)求A;

(2)若asinB=23,b=3,求c的值

16.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AC=BC,AB=BB1=4,E为AA1的中点,F为线段B1C上一点,设CF=λCB1.

(1)当λ=12时,求证:EF∥平面

(2)当平面AEF与平面ABB1A1所成二面角的余弦值为255时,求λ

17.(15分)阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M,N,A,B分别为椭圆的上、下顶点,设D为直线AN上一点,且直线BD,BM的斜率的积为-14,证明:点D在x轴上

18.(17分)抛物线C:x2=2py(p0),直线l:y=1交抛物线C于P,Q两点,且S△OPQ=2,已知点M(0,3),且☉M与l相切.

(1)求☉M及抛物线C的方程.

(2)已知N(x1,y1),A,B为抛物线C上不同的三点,且x1≠±p,证明:无论点N的位置怎么变化,一定存在A,B两点,使得☉M为△ABN的内切圆.

19.(17分)已知函数f(x)=x2+axlnx(a∈R).

(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;

(2)当x≥1时,f(x)≤alnx+x2+ex-1-x恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

题序

1

2