新高考数学一轮复习考点题型训练 7.1空间几何体结构特征及计算（精讲）（解析版）.doc

7.1空间几何体结构特征及计算

【题型解读】

【知识必备】

1.空间几何体的结构特征

多面体

棱柱

棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形

棱锥

棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形

旋转体

圆柱

圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到

圆锥

圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到

圆台

圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到

球

球可以由半圆或圆绕直径旋转得到

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝S底·h

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)S底·h

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

【题型精讲】

【题型一简单几何体的概念】

例1（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】A

【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;

②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;

③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

故选：A

例2（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.

【答案】

【解析】根据题意，碳（）由个顶点，有个面，

由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，

设正五边形有个，正六边形有个，

则，解得：，所以六元环的个数为个，

故答案为：

【跟踪精练】

1.（2022·青岛高三月考）给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

【答案】②③④

【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．

2.（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式?定理?解法?函数?方程?常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V?棱数E?面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.

【答案】①.②.

【解析】因为某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，

则该32面体的棱数：；

因为顶点数V?棱数E?面数F之间总满足数量关系，

设顶点的个数为，则，

解得，

故答案为：；.

【题型二简单几何体的表面积】

必备技巧空间几何体表面积的求法

①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

例3（2022·全国高三其他模拟）如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为（）

A．