河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期2月开学考试 数学试题（含解析）.docx

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期2月份开学考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案.

详解】已知直线与直线平行，则，解得.

直线化为；直线为直线.

它们之间的距离为.

故选：A.

2.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算.

【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为，

∴双曲线的右焦点为，则，得到.

∴该双曲线的渐近线方程为.

故选：A

3.已知空间三点，，，则点到直线的距离是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论.

【详解】因为，，，

所以，，

所以在向量上的投影向量的长为，

所以点到直线的距离是.

故选：C.

4.有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率》

【详解】不妨记五名志愿者为?，假设a?连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有?种方法，

同理：连续参加了两天社区服务，也各有12?种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有?种.

总的情况数为?种.

故恰有1人连续参加两天服务的概率为?.

故选：A.

5.设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.

【详解】由离散型随机变量的性质可得，

即，解得或，

时，不合题意，.

.

故选：A.

6.高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值.

【详解】由已知，，，，，，，

所以由

得：

解得，又因为，所以．

故选:B．

7.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围.

【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点，

根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.

因为的垂直平分线经过点，所以，

记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，

由椭圆的定义得，所以；

由双曲线的定义得，所以.

所以，所以，

所以.

所以，

又，所以，，

由函数在单调递减，可得，

所以，

所以.

故选：B.

8.提供四种不同颜色颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（）

A.288种 B.296种 C.362种 D.384种

【答案】D

【解析】

【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案.

【详解】首先三个区域有种涂法，

当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；

当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；

当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，

综上，共有384种涂法.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论．正确的是（）

A.存在点，使得 B.存在点，使得平面

C.的面积越来越小 D.四面体的体积不变

【答案】ACD

【解析】

【分析】设正方体棱长为，，求出、，由解得，确定A正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断D，建立空间直角坐标系，可证明不可能与