内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

高二下数学开学初考试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1.等差数列满足，，则（）

A.6 B.10 C.12 D.24

【答案】C

【解析】

【分析】设数列公差为d，然后由题意及等差数列通项公式可得答案.

【详解】设数列公差为d，由，，

可得，解得，，

则．

故选：C

2.设直线倾斜角为，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解.

【详解】由题意可知：直线的斜率，

则，可得，且，

又因为，可得，

由可知，所以.

故选：C.

3.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解.

【详解】由题意，得，即，

所以抛物线方程为.

故选：D.

4.设，则“直线与直线平行”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解.

【详解】因为，所以，则有，解得，

当时，，，则重合，

当时，，，则平行，

所以等价于，

所以“直线与直线平行”能推出“”，

“”不能推出“直线与直线平行”，

所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

5已知数列满足，且，则（）

A. B.0 C.1 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案.

【详解】由，则，，，.

故选：C.

6.如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出.

【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，

.

故选：D

7.已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，计算出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率.

【详解】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，

因为是等边三角形，则，，

，所以，，，

所以，，

由椭圆的定义可得，

因此，椭圆的离心率为.

故选：C.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8.在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（）

A.1 B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】写出的表达式，求出的最小值，再根据勾股定理求出的最小值

【详解】圆的圆心为半径，

圆心到直线距离，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故选：D

二、多选题（每题6分，共18分）

9.已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（）

A.实轴长为6 B.虚轴长为2 C.焦距为 D.离心率为

【答案】AB

【解析】

【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可.

【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，

故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确；

焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误.

故选：AB.

10.已知空间中三点，，，则（）

A.

B.方向上的单位向量坐标是

C.是平面ABC的一个法向量

D.在上的投影向量的模为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断.

【详解】对于A：，则，A错误；

对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确；

对于C：，，

又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确；

对于D：在上的投影向量的模为，D错误.

故选：BC.

11.已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（）

A.当与圆相切于点时，

B.点到圆上点的距离的最大值为5

C.点到圆上点的距离的最小值为2

D.若点在上，与圆相交于点，则

【答案】AB

【解析】

【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项.

【详解】由题意得，