2025年高考数学专题复习高三导数大题隐零点问题.pdf

高三导数大题隐零点问题

导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但

又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和

过渡，再结合题目条件解决问题．

零点问题求解三步曲

(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x)＝0，并结合f′(x)的单调性

0

得到零点的取值范围．

(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．

(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．

1.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

x－2

(2)证明不等式e－axf(x)恒成立．

1

12＋

2

2.已知函数f(x)＝x＋lnx－ax(a≠0)．

a

1

(1)当a＝时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

2

(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值

45

参考数据：ln3，ln4

34.

1

lnx1

3.已知函数f(x)＝＋＋1.

xx

(1)求函数f(x)的单调区间；

x

(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有ae≥f(x)，求实数a的取值范围．

x

4.已知函数f(x)＝ae－2x，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

21

2

(2)当a＝1时，求证：f(x)＋x－x＋10.

8

2

x

e

5.已知函数f(x)＝x－lnx－.

x

(1)求f(x)的最大值；

1

x＋

x

(2)若f(x)＋xe－bx≥1恒成立，求实数b的取值范围.

6.已知函数f(x)＝2x＋xlnx(x1)，若不等式f(x)t(x－1)＋1恒成立，求正整数t的最大值.

x＋1

7.已知函数f(x)＝lnx－.

x－1

(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

x

(2)设x是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x，lnx)处的切线也是曲线y＝e的切线.

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