2024高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布3第3讲二项式定理练习理含解析.docVIP

PAGE

1-

第3讲二项式定理

[基础题组练]

1．(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x2)－x4))eq\s\up12(3)的绽开式中的常数项为()

A．－3eq\r(2) B．3eq\r(2)

C．6 D．－6

解析：选D.通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x2)))eq\s\up12(3－r)(－x4)r＝Ceq\o\al(r,3)(eq\r(2))3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.

2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的绽开式中x4的系数为()

A．50 B．55

C．45 D．60

解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的绽开式中x4的系数是Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＝55.故选B.

3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)的绽开式中x4的系数为()

A．10 B．20

C．40 D．80

解析：选D.通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝25－rCeq\o\al(r,5)x10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)的绽开式中x4的系数＝23·Ceq\o\al(2,5)＝80.故选D.

4．(2024·河北石家庄模拟)在(1－x)5(2x＋1)的绽开式中，含x4项的系数为()

A．－5 B．－15

C．－25 D．25

解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋Ceq\o\al(3,5)(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的绽开式中，含x4项的系数为5－2Ceq\o\al(3,5)＝－15.故选B.

5．(2024·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的绽开式的各项系数之和为()

A．2n－1 B．2n－1

C．2n＋1－1 D．2n

解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1×（2n＋1－1）,2－1)＝2n＋1－1.

6．(2024·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()

A．29 B．210

C．211 D．212

解析：选A.由题意得Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.

7．(2024·辽宁沈阳模拟)(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(5)绽开式中的常数项是()

A．12 B．－12

C．8 D．－8

解析：选B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(5)绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(5－r)(－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,5)xr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，绽开式的常数项是(－1)3Ceq\o\al(3,5)＋2(－1)5Ceq\o\al(5,5)＝－12.故选B.

8．(2024·太原模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋1))eq\s\up12(5)绽开式中的常数项为()

A．1 B．21

C．31 D．51

解析：选D.因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋1))eq\s\up12(5)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x＋1）＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)

＝Ceq\o\al(0,5)(x＋1)5＋Ceq\o\al(1,5)(x＋1)4·eq\f(1,x)＋Ceq\o\al(2,5)(x＋1)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,