高中数学-排列组合13种方法精讲.docVIP

排列组合

分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

排列及排列数：

排列：从n个不同元素中取出m个〔m≤n〕个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数：从n个不同元素中取出m个〔m≤n〕个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示。

排列数公式：.

全排列：n个不同元素全部取出的排列，叫做n个不同元素的一个全排列，

！

，规定0！=1

组合及组合数：

组合：从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数：从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素的所有组合个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的组合数，用表示。

计算公式：.由于0！=1，所以.

组合数的性质：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕！

捆绑与插空法：

例1．8位同学排成一队，问：

⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？

⑵甲乙不相邻，有多少种排法？

⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？

⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？

⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？

例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?

例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相

邻，有多少不同的排法？〔只要求写出式子，不必计算〕

定序问题缩倍法：

例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________〔用数字作答〕

例2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边〔A,B可以不相邻〕那么不同的排法有〔〕

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?

标号排位问题分步法：

例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，那么四张贺年卡的分配方式有〔〕

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

例2．将标有1,2,…10的10个小球投入同样标有1,2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?

有序分配问题逐分法：

例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承当，乙、丙各需由1人承当，从10人中选派4人承当这三项任务，不同的选法共有〔〕种

A.1260 B.2025 C.2520 D.5040

例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有〔〕种

A、 B、 C、 D、

例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？

平均分给甲、乙、丙三人；

甲得一本，乙得两本，丙得三本.

隔板法：

例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？

例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数

例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,那么不同的装法共有多少种?

多元问题分类法：

例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位

数字的共有〔〕

A.210个 B.300个 C.464个 D.600个

例2．〔1〕从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法〔不计顺序〕共有多少种？

〔2〕从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法〔不计顺序〕共有多少种？

至少问题间接法：

例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，那么不同的取法共有〔〕种

A.140 B.80 C.70 D.35

例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长中选的选法有多少种？

匹配问题配对法：

例1、从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？

例2、有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠军?

选排问题先选后排法：

例1、四个不同的小球放入编号为1，2