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小学五年级下册数学奥数知识点讲解第7课《从不定方程的整数解》试题附答案

第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起

对于形如工=1+工的方程，寻找整数X、戒之满足方程，称为求不定方

nxy

求不定方程的整数解.这里n取定的一个自然数.对于方程

111，八

工=_+一,(1)

oxy

显见x=y=12一个整数解,还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看

出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。

由1=1+工，两边减去1,得：

oxyx

11_1

6xy

通分：因此y=91,这里x-6大于0.为了使右端的分数形

oxyx-o

式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令『x-6,那么x=t+6.因此

y=丝生立=(+6,由于崖整数，上式右边也整数，所以彳■也

必须整数，这样我们推知：t62的因数(约数)。

由于求不定方程的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两

oxy

个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.

一个完全平方数的因子必然奇数个，如小有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记

为：

1

t=6,力=1,tJ=36；t=2,t-=18；t.=3,tJ=12；t=4,

24

r2r2

y

tj=9也即J=t1J…，—=t4,

11

2

6,

y

x=6+t,y=—+6=t+6,

g1的所有解表示成g22

6xy66+t6+t

这里t和t，器二36的互补因子（当t=t，=6时自补因子也包括在内），

所以

1=1+1的全部整数解为:

6xy

n111f11)

t°=t；=6,-1；I11

6121216+66+6)

1

t=1,t；=36,-=—+—；