新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.11 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（解析版）.doc

专题2.11圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

1．求定点问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．

2．定点问题解决步骤：

(1)设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

(2)根与系数关系列出两根和及两根积；

(3)写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

(4)整理(3)所得表达式探求其恒成立的条件．

3．定值、取值范围（最值）问题的基本思路：

(1)假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

(2)利用求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；

(3)利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；

(4)化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围（最值）．

1．（2023·安徽安庆·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C分别为椭圆E:x2a2+y2b2

(1)若点T在直线l:x=a2c

(2)设直线CF与椭圆E的另一个交点为D，M是线段CD的中点，椭圆E的离心率为12，试探究TMCD的值是否为定值（与a，

【解题思路】（1）由直线AB和CF的方程求点T的横坐标，根据点T在直线l:x=a2c上，得到关于a，c

（2）直线CF与椭圆E的方程联立，求D点坐标，求M点坐标，利用距离公式求出TM,CD，探究

【解答过程】（1）由题意可知，点A，B，C的坐标分别为(?a，?0)，(0，?

所以直线AB的方程为y=bax+b，直线CF

由y=bax+b和y=bcx?b，消除

因为点T在直线l:x=a2c

整理得2c2+ac?

所以离心率e=c

（2）当椭圆E的离心率为12时，a=2c，b=

所以椭圆E的方程为x24c

直线CF的方程为y=3

联立3x2+4y2

所以点D的横坐标为8c5，纵坐标为3

因为点C的坐标为(0,?3c)，所以CD中点M的坐标为

又由（1）知点T的横坐标为2aca?c=4c2

所以TM=

CD=

故TMCD

2．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1:x+12+y2

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l:x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，

【解题思路】（1）设动圆P的半径为R，分析可得PC1+

（2）设点T4,tt≠0，设Mx1,y1，Nx2,y2，写出直线TA1、TA

【解答过程】（1）解：设动圆P的半径为R，

由题意可知：圆C1的圆心为C1?1,0，半径为72；圆C2

因为C1C2=2，则C1

因为动圆P与圆C1内切，且与圆C

则PC

所以，动圆P的圆心的轨迹E是以C1、C

设其方程为x2a2+y

所以，a=2，b2=a2?

（2）证明：由题意可知A1?2,0、A2

设Mx1,

直线A1T的方程为y=t6x+2

联立方程y=t

y=t6x+2x2

由韦达定理可得?2?x1=

则y1=t

联立方程y=t2x?t

由韦达定理可得2x2=

则y2=t

所以，kMN

所以，直线MN的方程为y+6t

即y=?6tt2

故直线MN过定点1,0，所以△FMN的周长为定值8，

当t=±3时，M1,32、N1,?3

所以，MN过椭圆E的焦点1,0，此时△FMN的周长为定值4a=8，

综上所述，△FMN的周长为定值8.

3．（2023·北京·校考模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆E:x2a

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆E于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1

【解题思路】（1）根据题意得到b=1，c=btan60°

（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，将椭圆E:x24+y2=1向上平移1个单位得到E′:x′

【解答过程】（1）由题知：b=1，c=btan60°

所以E:x

（2）设Ax1,

将椭圆E:x24

则A′x′

设直线A′B′

则x′

即x′2+

所以k1+k

所以直线A′B′为2?4nx′

将12,2向下平移1个单位得到12,1，即直线

综上：直线AB过定点12

4．（2023·河南·校考模拟预测）如图，已知点P2,2是焦点为F的抛物线C:y2=2px上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线

(1)判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由；

(2)设焦点F到直线AB的距离为d，求d|FA|

【解题思路】（1）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；

（2）在（1）的基础上用斜率k表达出dFA

【解答过程】（1）将点P2,2代入抛物