新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.15 导数中的不等式的证明（原卷版）.doc

专题2.15导数中的不等式的证明

1．利用导数证明不等式问题，具体方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．

2．对于极值点偏移问题，处理类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：

(1)求导确定的单调性，得到的范围；

(2)构造函数，求导后可得恒正或恒负；

(3)得到与的大小关系后，将置换为；

(4)根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论．

1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数fx=sin

(1)讨论fx

(2)若存在?π2x1

2．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)求曲线y=fx在1,f

(2)设gx=efx

3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数fx

(1)若fx≥0，求

(2)证明：若fx有两个零点x1,

4．（2023·山西太原·统考一模）已知函数fx

(1)若fx恰有三个不同的极值点x1,

(2)在（1）的条件下，证明：

①x1

②x1

5．（2023·云南红河·统考二模）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)当x≥0时，fx≤2恒成立，求

(3)设gn=12e

6．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=a1?x

(1)若a=?1，求函数fx

(2)若a∈0,

①证明：函数fx存在唯一的极值点β

②若fα=0，且αβ，证明：

7．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数fx

(1)求fx

(2)若fx1=f

（ⅰ）x1

（ⅱ）x1

8．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知x?1，证明：

(1)ex

(2)ex

9．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数f(x)=e

(1)当x≤π2时，求证：

(2)当x0时，函数f(x)的零点从小到大依次排列，记为x

证明：（i）sinx

（ii）x2n?1

10．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知函数f(x)=aex?x

(1)若fx的最小值为1，求g(x)=f(x)?a2

(2)若0b≤2，证明：当x∈[0,+∞)时，

11．（2023·河南新乡·统考二模）已知a∈R，函数f(x)=2

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设[x]表示不超过x的最大整数，证明：12+11

12．（2023·吉林通化·校考二模）已知函数fx=ln

(1)当a=?2时，讨论fx

(2)当a0时，若关于x的不等式fx≤?2

(3)设n∈N?时，证明：

13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数f

(1)讨论fx

(2)当b=0时，设x1，x2∈?

14．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)讨论函数fx

(2)若x1，x2x

①fx

②fx

15．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知函数fx

(1)当n=1时，求函数y=fx

(2)当n1时，函数y=fx的图象与x轴交于P，Q两点，且点Q

（ⅰ）若函数y=fx在点Q处的切线为y=gx，求证：当x1时，

（ⅱ）若方程fx=t0tn?1有两根a，b

16．（2023·四川南充·统考二模）已知函数fx

(1)若函数fx在0,+∞有2个极值点，求

(2)若函数?x=f′x

17．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知函数fx

(1)当n=1时，求函数y=fx

(2)当n1时，函数y=fx的图象与x轴交于P，Q两点，且点Q在右侧．若函数y=fx在点Q处的切线为y=gx，求证：当x1

18．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数f(x)=(x+a)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1

19．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数fx=1

(1)求函数fx

(2)已知曲线gx=?x2+a2?2

20．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)若fx≤0恒成立，求

(3)若n∈N?，证明：

21．（2023·河南·校考模拟预测）已知函数f(x)=ax?b

(1)若a=b，讨论fx

(2)当a=1，b1，f′(x)=m有两个不同的实数根x1

22．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx

(1)讨论函数fx

(2)若存在不同的正实数x1,x2使得

23．（2023·浙江·校联考三模）已知f

(1)当a=1时，求fx

(2)当x0时，fx0恒成立，求

(3)设mn，m,n∈N?，证明：

24．（2022·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=e

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)

(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有