精品解析：北京市北京理工大学附属中学2025届高三下学期开学考试数学试题（解析版）.docxVIP

北京理工大附中2024—2025学年第二学期开学考试题

高三数学

2025.2

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的定义域，即可求出集合，再根据集合的交集求解即可.

【详解】因为，所以，即，

所以.

故选：A

2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的几何意义，除法运算和复数的模计算即可.

【详解】由题意，，，

.

故选：D

3.抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（）

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】B

【解析】

【分析】求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.

【详解】抛物线的准线方程为，因为点到焦点的距离为，

所以点到准线的距离为，

则点到轴的距离为.

故选：B

4.如图，在中，是的中点.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.

【详解】因为是的中点，，，

所以

.

故选：C.

5.已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系

【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，

此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合；

当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即，

则圆心到直线距离为，解得,

所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件,

故选：C.

6.在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（）

A.40 B.80 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果.

【详解】由展开式二项式系数和为，可得，

易知展开式第项，

令，即的系数为40，

故选：A.

7.已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义，先求出角的正弦和余弦，再根据两角和的正弦公式求解即可.

【详解】因为点是角终边上一点，

所以，，

则.

故选：C

8.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（）

A.24－3π B.24－π C.24＋π D.24＋5π

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得.

【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，

其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面，

则.

故选：B

9.已知函数，下面表述不正确的为（）

A.是的极小值点 B.当时，

C.当时， D.当时，

【答案】B

【解析】

【分析】对函数求导，求出函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，再对每个选项逐一判断即可.

【详解】对函数求导，

得，

令，解得：或；

令，解得：，

所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图：

对于选项A：观察图像可知，选项A正确；

对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增，

故，故选项B错误；

对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减，

且，故，故选项C正确；

对于选项D：当时，，由，得，

故，故选项D正确；

故选：B

10.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（）

A. B. C.. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，由题意得到第项为，然后利用累乘法求解.

【详解】解：设，由题意得，第项为，

则时，，

因为，，

所以，

解得，

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为____

【答案】

【解析】

【分析】首先将双曲线的方程化为标准方程，再根据离心率得出的关系，进而得出渐近线方程.

【详解】将已知双曲线的方程

化为标准方程

由，知，

所以双曲线的渐近线方程为

【点睛】本题的易错点有两个：

（1）没有将双曲线化成标准方程导致出错；

（2）混淆规范标准方程