2025版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布与正态分布学案理含解析新人教A版.docxVIP

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第七节二项分布与正态分布

2024考纲考题考情

1．条件概率

(1)条件概率的定义

设A，B为两个事务，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事务A发生的条件下，事务B发生的条件概率。

(2)条件概率的性质

①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1。

②假如B，C是两个互斥事务，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)。

2．相互独立事务的概率

(1)相互独立事务的定义及性质

①定义：设A，B是两个事务，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事务A与事务B相互独立。

②性质：若事务A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立。

(2)独立重复试验概率公式

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)。

(3)二项分布的定义

在n次独立重复试验中，设事务A发生的次数为X，在每次试验中事务A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n。此时称随机变量X听从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为胜利概率。

3．正态分布

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up15(－eq\f(?x－μ?2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

(2)正态分布的定义及表示

假如对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满意P(a＜X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X听从正态分布，记作N(μ，σ2)。

(3)正态曲线的特点

①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交。

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称。

③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))。

④曲线与x轴之间的面积为1。

⑤当σ肯定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的改变而沿着x轴平移。

⑥当μ肯定时，曲线的形态由σ确定。σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

(4)正态分布中的3σ原则

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6。

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4。

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4。

1．相互独立事务与互斥事务的区分

相互独立事务是指两个事务发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事务是指在同一试验中，两个事务不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。

2．推断一个随机变量是否听从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事务发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。

3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事务A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)。

一、走进教材

1．(选修2－3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3。假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()

A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56

解析设甲地降雨为事务A，乙地降雨为事务B，则两地恰有一地降雨为Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38。故选C。

答案C

2．(选修2－3P54练习T2改编)100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为()

A.eq\f(19,20) B.eq\f(19,400)

C.eq\f(1,20) D.eq\f(95,99)

解析依据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；则其次次抽到正品的概率为P＝eq\f(95,99)，故选D。

答案D

3．(选修2－3P75B组T2改编)若X～N(5,1)，则P(3X4)＝()

A．0.9545 B．0.4773

C．0.3414 D．0.1359

解析依题意得P