2025版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数第3讲小题考法__导数的简单应用学案.docVIP

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第3讲小题考法——导数的简洁应用

一、主干学问要记牢

1．导数公式及运算法则

(1)基本导数公式：

①c′＝0(c为常数)；

②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；

③(sinx)′＝cosx；

④(cosx)′＝－sinx；

⑤(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；

⑥(ex)′＝ex；

⑦(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a0且a≠1)；

⑧(lnx)′＝eq\f(1,x)．

(2)导数的四则运算：

①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；

③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．

2．导数与极值、最值

(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0旁边“左正右负”?f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0旁边“左负右正”?f(x)在x0处取微小值．

(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最小者”．

二、二级结论要用好

1．常用乘式与除式的求导

(1)[xnf(x)]′＝nxn－1f(x)＋xnf′(x

(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,xn)))′＝eq\f(xnf′?x?－nxn－1f?x?,x2n)；

(3)[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]；

(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,ex)))′＝eq\f(f′?x?－f?x?,ex)．

2．不等式恒成立(或有解)问题的常用结论

(1)恒成立问题

af(x)恒成立?af(x)max；a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；af(x)恒成立?af(x)min；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．

(2)有解问题

af(x)有解?a＞f(x)min；a≥f(x)有解?a≥f(x)min；

af(x)有解?a＜f(x)max；a≤f(x)有解?a≤f(x)max．

三、易错易混要明白

1．不能精确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出．

2．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．

3．假如已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦然．

4．求曲线的切线方程时，要留意题目条件中的已知点是否为切点．

考点一导数的几何意义

1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法

(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P的切线方程：

求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．

(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．

(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

1．(2024·延安一模)已知函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值为(D

A．eq\f(1,2) B．1

C．eq\f(3,2) D．2

解析因为切线方程为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，则直线的斜率k＝eq\f(1,2)，依据导数的几何意义得f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×eq\f(1,2)＝2，故选D．

2．(2024·绵阳三诊)若曲线y＝lnx＋1的一条切线是y＝ax＋b，则4a＋eb的最小值是(C

A．2 B．2eq\r(2)

C．4 D．4eq\r(2)

解析设切点为(m，lnm＋1)，f′(x)＝eq\f(1,x)，f′(m)＝eq\f(1,m)，故切线方程为y－(lnm＋1)＝eq\f(1,m)(x－m)，即y＝eq\f(1,m)x＋lnm，所以a＝eq\f(1,m)，b＝lnm,4a＋eb＝eq\f(4,m)＋m≥2eq\r(\f(4,m)·