2025届湖南省常德芷兰实验学校高三下学期一模考试数学试题含解析.doc

2025届湖南省常德芷兰实验学校高三下学期一模考试数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A，则集合（）

A． B． C． D．

2．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()

A．4 B．3 C．2 D．1

3．已知，则下列关系正确的是（）

A． B． C． D．

4．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）

A．（0，1）∪（1，e） B．

C． D．（0，1）

5．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（）

A． B． C． D．

6．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）

A． B． C． D．

7．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）

A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长

B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上

C．从年至年，中国的总值最少增加万亿

D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年

8．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）

A．-2 B．2 C．4 D．7

9．给出下列三个命题：

①“”的否定；

②在中，“”是“”的充要条件；

③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．

其中假命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

A． B． C． D．

11．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）

A． B． C． D．

12．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）

A．-1 B．1 C．0 D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.

14．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．

15．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.

16．在等差数列（）中，若，，则的值是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）时，若，，求证：．

18．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）

（1）求的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.

19．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）

（1）求证：平面；

（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.

（1）求抛物线C的极坐标方程；

（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.

22．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，求的面积的最大值．

参考答案