新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.8 圆锥曲线（椭圆）（解析版）.doc

专题1.8圆锥曲线（椭圆）

1．解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲

线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.

2．求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数方法或定义法；

3．与焦点三角形有关的计算问题，足以利用椭圆的定义、焦半径公式等来简化计算．

4．直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

(1)过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．

(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．

(3)它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.

5．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题关键是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用基本不等式求出参数的取值范围；

(4)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

1．（2023·陕西商洛·统考一模）已知F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b

(1)求椭圆E的方程.

(2)过F1的直线交椭圆E于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P，使得PF1=λPA

【解题思路】（1）设椭圆E的半焦距为c，写出F2,Q点坐标，根据条件计算a,c的值，结合a2+b2=c2求出b，可写出椭圆方程；（2）由条件可知PF1

【解答过程】（1）（1）设椭圆E的半焦距为c，则F2(c,0),Q(a,0)，因为

所以a?c=1.

又因为椭圆E的离心率为12，所以c

联立方程组a?c=1ca

所以b2

椭圆E的方程为x2

（2）设存在点P(t,0)，使得PF1=λPA|

所以kPA+k

当kAB≠0时，设AB的方程为x=my?1，与椭圆E的方程x24+

设Ax1,y1

因为kPA+k

即y1my

所以?2m×9

即?18m?61+tm=0，即m4+t=0，所以

故存在点P(?4,0)，使得PF

2．（2023·宁夏·校考一模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A1，A2，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线AA1、BA2

【解题思路】（1）由已知条件，椭圆的定义及a,b,c的关系可知a2=4c

（2）设点Ax1,y1，Bx2,y2，由直线AA1的方程即可求出点M的坐标，由

【解答过程】（1）∵△F1B1

∴a=2c，

又∵a2=b2

设椭圆的方程为x2

将点P1,32代入椭圆方程得1

所以椭圆E的方程为x2

（2）由已知得A1?2,0，A2

则直线AA1的斜率为y1x1

即点M坐标为0,2

直线BA2的斜率为y2x2

即点N坐标为0,?2

∵|ON|=3|OM|,∴|ON|2=9|OM|

又∵y12=3?

∴4?x22

整理得5x

①若直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b，

将直线方程与椭圆方程联立y=kx+bx24

其中Δ=64

x1+x

即?5×8kb3+4k2?2×

所以b=?4k或b=?k，

当b=?4k时，直线AB的方程为y=kx?4k=kx?4，此时直线AB恒过点4,0

当b=?k时，直线AB的方程为y=kx?k=kx?1，此时直线AB恒过点1,0

②若直线AB的斜率不存在时x1

由2+x22?

即x22?5x2

此时直线AB的方程为x=1或x=4，

所以此时直线AB恒过点1,0或4,0，

综上所述，直线AB恒过点1,0或4,0.

3．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A，B是椭圆C:x24+y23=1上关于坐标原点O对称的两点，点D4,0，连结DA并延长交C

(1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标；

(2)设△DMN，△DAB的面积分别为S1,S2，若

【解题思路】(1)由于A是M，D的中点，设Ax0,y0，由此推出M

(2)设直线DA的方程，再根据A，B的对称性设DB的方程，与椭圆方程联立，求出M，N点的坐标与A，B点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.

【解答过程】（1）设Ax0,

由A，M均在椭圆C上，∴x024+y

∴A7

（2）设DA方程为x=my+4，Ax0,

x=my+43x2+4y

∴yM

∴yM

同理y

∴yN=?3y

=