重难点04 导数在研究函数中的作用（3题型 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（上海专用）（原卷版）.docx

重难点04导数在研究函数中的作用

2025年考向预测：由导数求函数的最值解答题

题型1利用导数研究函数的单调性

1．（2023·上海静安·一模）已知函数f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.

(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；

(2)当a0时，求函数g(x)的单调区间；

(3)若存在x?[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)?g(x)成立，求实数a的取值范围．

2．（2023·上海杨浦·二模）如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区.

(1)若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米）

(2)若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米）

3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知函数.

(1)求证：；

(2)若，试比较与的大小；

(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围；若不恒成立，请说明理由.

4．（2023·上海金山·二模）若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.

(1)若函数存在“相关点”，求的值；

(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：

(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.

5．（2023·上海徐汇·三模）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质.

(1)设函数，其中为实数.

（ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由；

（ⅱ）求函数的单调区间.

(2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围.

6．（2023·上海普陀·模拟预测）已知函数．

(1)若是定义域上的严格增函数，求a的取值范围；

(2)若，，求实数a的取值范围；

(3)设、是函数的两个极值点，证明：．

7．（2023·上海黄浦·三模）设函数．

(1)设，求函数的单调区间；

(2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件；

(3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.

8．（2023·上海浦东新·模拟预测）设函数.

(1)求函数在点处的切线方程;

(2)证明:对每个，存在唯一的，满足；

(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.

9．（2023·上海崇明·一模）已知．

(1)若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；

(2)已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；

(3)若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，

②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．

10．（2023·上海嘉定·一模）已知．

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)请严格证明曲线有唯一交点；

(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

11．（2024·上海·模拟预测）设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”.

(1)判断是否为上的函数，说明理由；

(2)若实数满足：为上的函数，求的取值范围；

(3)已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.

12．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．

(1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；

(2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；

(3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程．

13．（2024·上海虹口·一模）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．

(1)判断是否具有性质，并说明理由；

(2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；

(3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．

题型2利用导数研究函数的极值

1．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数.

(1)若，求函数的极值点；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

2．（2023·上海长宁·二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；

（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数m