重难点05 解三角形的实际应用（4题型 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（上海专用）（解析版）.docx

重难点05解三角形的实际应用

2025年考向预测：正、余弦定理的实际应用

题型1正、余弦定理判定三角形形状

1．已知在中，三边分别对应三个内角；且

（1）求角的大小；

（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状.

【答案】（1）（2）是等边三角形，面积最大值为

【解析】（1）根据题中条件，由余弦定理，求出，进而可得角；

（2）根据正弦定理，由题中条件，求出，再由题中条件，利用基本不等式，求出最大值，进而可得三角形面积的最大值，以及判断三角形的形状.

【详解】（1），，即，

由余弦定理可得：，

又角为的内角，所以，因此；

（2）因为外接圆半径，

所以由正弦定理可得：，则；

所以，则，，当且仅当时等号成立，

的面积.

即的面积的最大值是，当且仅当时等号成立；

因此，此时是等边三角形.

【点睛】方法点睛：

求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

2．在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.

(1)求角的大小；

(2)若，证明：是直角三角形.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得，再由为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之后再消元，可得，再结合的范围即可得证

【详解】（1）由正弦定理可知，，

又在中，，即，

为锐角，.

（2）

所以由正弦定理得：，

又，

即，

，

故可得，

即

为直角三角形.

3．（2023·上海虹口·一模）设的内角所对的边分别为，已知．

(1)求角A；

(2)若，求证：是直角三角形．

【答案】(1)

(2)证明见解析．

【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；

（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.

【详解】（1）由条件，得，

即，亦即，

故，因为，所以．

（2）证明：由正弦定理及得，

由（1）知，故，于是，

则，即，

因，故，又，

从而，

所以，则，

因此是直角三角形．

4．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.

【答案】(1)

(2)4，为等边三角形

【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求；

（2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状.

【详解】（1）由正弦定理得，

又由余弦定理得，

因为是三角形内角，所以；

（2）由三角形面积公式得：

，

解得，

因为，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，此时为等边三角形.

题型2求三角形中的边长或周长的最值或范围

1．（2024·上海宝山·一模）在中，已知.

(1)若且，求的面积；

(2)若求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解；

（2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，????????

由得，???????????

从而，??????????????????????????????

所以的面积.

（2）由，???????????

又，当且仅当时取等号，??????

从而，所以，???????????????????????

又因为中，，从而，??????????????????????

所以的范围是.

2．（2023·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

??

(1)若，求角的大小；

(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.

（2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.

【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，

即，则，

整理得，而，即，又因为，

所以.

（2）在中，，

由余弦定理得，

于是，解得，

当且仅当时取等号，

所以当时，周长取得最大值.

3．（2023·上海青浦·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，求的周长的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】

（1）根据余弦定理可得的大小；

（2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值.

【详解】（1）由，可得，

所以，

又，所以.

（2）由（1）得，所以，

则由正弦定理可得，

即，，

所以的周长，

又在中，，

则，

又在中，，所以，

所以当时，周长取最大值为.

4．（2023·上海·模拟预测）高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁