2022年高考数学总复习立体几何中的向量方法(二)求空间角.pdf

2022年高考数学总复习：立体几何中的向量方法(二)——求

空间角

必威体育精装版考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的

计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

知识梳理

1.异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l，l的方向向量，

12

a与b的夹角βl与l所成的角θ

12

π

范围(0，π)0，

2

a·b|a·b|

求法θβ

cosβ＝|a||b|cos＝|cos|＝|a||b|

2.求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

|a·n|

θ

sin＝|cos〈a，n〉|＝.

|a||n|

3.求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角

→→

的大小θ＝__〈AB，CD〉.

β

(2)如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，的法向量，则二12

θ

面角的大小θ满足|cos|＝|cos〈n，n〉|，二面角的平面角大小是向量n与

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n的夹角(或其补角).2

[常用结论与微点提醒]

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的

θθ

绝对值，即sin＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平

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β

面α，的法向量n，n时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确

12

定二面角与向量n，n的夹角是相等，还是互补.

12

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()

ππ

(4)两异面直线夹角的范围是0，，直线与平面所成角的范围是0，，二面

22

角的范围是[0，π].()

解析