新高考数学二轮复习解答题提分训练专题02 构造法求数列通项(解析版).doc

专题02构造法求数列通项

一:待定系数之型构造等比数列

1.已知满足,求数列的通项公式.

【解析】

根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,.

2.已知数列中,,,求数列的通项公式.

【解析】

设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即

3.已知数列中,,,求数列的通项公式.

【解析】

设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即

4．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)求的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【解析】

(1)，即

数列是以首相为，公比为的等比数列，

(2)由（1）知

5．已知数列满足.

(1)证明为等比数列，并求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，证明.

【答案】(1)证明见解析，

(2)见解析

【解析】

(1)证明：因为，

所以，

又，

所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，

则，

所以；

(2)证明：由（1）得，

因为，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，

因为，

所以.

6．已知数列的首项，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

(1)∵，等式两边同时加1整理得

又∵，∴

∴是首项为2，公比为2的等比数列．

∴，???????∴

(2)∵，∴.

记的前n项和为

则

所以

相减得

整理得.

所以

7．已知数列的前n项和为，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

(1)解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；

(2)解：由（1）可知，所以①，所以②；

①②得

所以；

二:待定系数之型构造等比数列

8.设数列满足,,求数列的通项公式.

【解析】

将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得.

9.已知数列是首项为.

(1)求通项公式;

(2)求数列的前项和.

【解析】

因为2),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即.

10.已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.

(1)求和通项公式;

(2)的前项和.

【解析】

因为是一元二次方程的两个根,所以,由得,两式相减得,所以,令,则,比较以上两式的系数,得,解得.所以.又,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以,所以

三:待定系数之型构造数列

11.已知数列中,求的通项公式.

【解析】

解法一:构造数列,化简成题干结构得,

对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以.

解法二:将两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得

令,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以即.所以.

解法三:将两边分别除,也就是乘,得令

,则,所以

将以上各式叠加,得,又

,所以,即所以.

12.已知数列满足,求数列的通项公式.

【解析】

解法一:设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.

解法二:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.

解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.

13.已知数列满足.

(1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;

(2)记为数列的前项和,求.

【解析】

(1)数列满足,所以2.,所以数列为等差数列,首项为0，公差为2.

(2)由(1)可得:,可得:,所以

四:同型构造法

14.已知数列满足,求.

【解析】

因为,所以令,则,即是常数数列,所以,即.

15.已知数列中,且,求数列的通项公式.

【解析】

因为,所以令,则,即是常数数列,所以因此

16.已知数列中,且,求数列的通项公式.

【解析】

,等式两侧同除,形成,令,则,这又回到了构造一的形式,所以,是以2为首项,2为公比的等差数列,即,,所以,.

17.已知,且,求数列的通项公式.

【解析】

等式两侧同除,得,即,,另，所以,接下来就是叠加法发挥作用的时候了

……

叠加得,,所以，即，.

18.已知数列满足,求数列的通项公式.

【解析】

将等式两边同时除以得,,所以是以为首项,3为公差的等差数列,即,所以.

19.已知数列满足,,求数列的通项公式.

【解析】

等式两侧同除,得,即,另，所以,接下来依旧是叠加法

……

叠加得,,,即,,当时,代入题干原式得,经检验可以合并,.

20已知数列前项的和为,且满足.

(1)求的值;

(2)求的通项公式.

【解析】

(1)当时,因为,所以.

当时,因为,所以