2024春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.3三角函数的计算教案1新版北师大版.docVIP

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1.3三角函数的计算

1．娴熟驾驭用科学计算器求三角函数值；(重点)

2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)

一、情境导入

如图①和图②，将一个Rt△ABC形态的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．假如楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？

视察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5cm时，木桩上升的距离为PN.

在Rt△PBN中，∵tan10°＝eq\f(PN,BN)，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．

那么，tan10°等于多少呢？

对于不是30°，45°，60°这些特别角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．

二、合作探究

探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题

【类型一】已知角度，用计算器求三角函数值

用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：

(1)sin47°；(2)sin12°30′；

(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.

解析：娴熟运用计算器，对计算器给出的结果，依据题目要求用四舍五入法取近似值．

解：依据题意用计算器求出：

(1)sin47°≈0.7314；

(2)sin12°30′≈0.2164；

(3)cos25°18′≈0.9041；

(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.

方法总结：解决此类问题关键是娴熟运用计算器，运用计算器时要留意按键依次．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数

已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：

(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；

(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；

(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.

解析：娴熟应用计算器，对计算器给出的结果，依据题目要求用四舍五入取近似值．

解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；

(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；

(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.

方法总结：解决此类问题关键是娴熟运用计算器，在运用计算器时要留意按键依次．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】利用计算器比较三角函数值的大小

(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin30°________2sin15°cos15°；

②sin36°________2sin18°cos18°；

③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；

④sin60°________2sin30°cos30°；

⑤sin80°________2sin40°cos40°.

猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；

(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请依据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．

解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC的面积来验证．

解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝

(2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.

证明：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·sin2α·AC，S△ABC＝eq\f(1,2)×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.

方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会常常用到．

探究点二：利用三角函数解决实际问题

【类型一】非特别角三角函数的实际应用

如图，从A地到B地的马路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的须要，将在A、B两地之间修建一条笔直的马路．

(1)求改直后的马路AB的长；

(2)问马路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?

解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，依据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，依据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最终依据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)依据(1)可知AC、BC的长度，即可得出马路改直后该段路程比原来缩短的路程．

解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0