2025【函数列的各种收敛性及其相互关系研究7200字】.docx

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函数列的各种收敛性及其相互关系研究

摘要

实变函数论（realfunctiontheory）是现代分析数学各个分支的基础,主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数.可测函数列上的收敛性理论是实变函数与泛函分析的重要内容之一,在函数列可测的前提下，探究可测函数列的收敛性及其相互关系.从介绍点集的Lebesgue测度（包括外测度）、可测集的定义和性质开始，确定函数列的可测性.给出Lebesgue可测函数的基本定义，明确可测函数列的性质，进而更好理解一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛这些重要的收敛关系.通过运用和证明EropoB定理、Lebesgue定理、Riesz定理，从而对几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛之间的关系做出最准确的研究，并对可测函数列这三种收敛性的等价关系条件进行了探究，总结出函数列收敛性的相互关系.

关键词:Lebesgue可测函数；近一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛；EropoB(逆)定理；Riesz定理

目录

TOC\o1-1\t标题2,1,标题3,1,标题4,1,标题5,1,副标题,21引言 1

2基本概念 1

2.1点集的Lebesgue测度（包括外测度） 2

2.2可测集及其性质 3

2.3可测函数的定义及其性质 4

3可测函数列的收敛性及其相互关系 6

3.1可测函数列的收敛性 6

3.1.1处处收敛 6

3.1.2一致收敛 6

3.1.3近一致收敛 7

3.1.4几乎处处收敛 7

3.1.5依测度收敛 9

3.2各种收敛性之间的相互关系 10

3.2.1一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛 12

3.2.2几乎处处收敛与近一致收敛 12

3.2.3几乎处处收敛与依测度收敛 13

3.2.4依测度收敛与近一致收敛 13

3.3各种收敛性的关系的总结 14

主要参考文献： 17

1引言

实变函数论（realfunctiontheory）是在20世纪初所形成的数学分支.主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，函数的连续性、收敛性、可微性、可积性等方面是其中的基本理论，也是对微积分的深入和发展.原因是实变函数不仅研究微积分中的函数，还研究更为一般的函数，并且研究出了更为深刻、更为一般从而可以大范围应用的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础.实变函数论的重要内容之一是建立在可测函数列上的收敛性理论，因此欧氏空间中Lebesgue意义下可测集(简称L可测集)上的可测函数,与数学分析中的主要研究对象“连续函数”的意义相同,是实变函数论中研究的主要对象.实变函数论中主要限于考虑可测函数类,原因在于只有可测函数才便于应用测度论REF_Re\r\h[1].

可测函数是可测空间之间保持（可测集合）结构的函数，也是勒贝格积分或实变分析中主要讨论的函数.可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛是经典实变函数和泛函分析理论中几种重要的收敛性.其中，如EropoB(逆)定理、Lebesgue定理、Riesz定理是对几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛最基本关系研究中几个经典的定理，对可测函数列的几种收敛性相互关系做出总结和证明.

叶戈洛夫（EropoB）定理建立了几乎处处收敛和一致收敛之间的联系，几乎处处收敛是处处收敛的弱化，几乎处处收敛也是一致收敛的弱化.实变函数论中的Riesz定理中展现了几乎处处收敛与依测度收敛的具体关系，同时表明了函数列依测度收敛的一个充要条件.依测度收敛的性质基本都是用定义来证明的.用Riesz定理来证明可测集的性质时，关键是深入了解几乎处处收敛的各个性质.因为几乎处处收敛与处处收敛只相差一个零测度集，而处处收敛的性质已经比较成熟，所以推导起来比较简单REF_Re\r\h[2].

在本文中，主要是针对引用文献[10][12-14]对可测函数列的三种收敛性（几乎处处收敛、近一致收敛、依概率收敛）在实变函数论中的推导和关系做出了系统性的总结和分析，从而能简单明了地了解和熟悉收敛函数列的性质，特别是从实变函数与泛函分析的角度.本文主要针对各种收敛性的定义以及关系,首先着重引用文献[2][7-8]推导函数列收敛关系的著名公式及其证明；其次，从定理的证明中，分析和理解各种收敛性的关系.通过对几种收敛关系定理的讨论和分析，可以看出在几种收敛关系中各种前提条件的重要性，几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛彼此等价的条件除了可测集的有界性mE∞外，函数序列的单调性也对于这三种收敛性彼此等价有关键性作用.由文献[14]可见序列的单调性也是一个较为