新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.13 导数中的零点问题（解析版）.doc

专题2.13导数中的零点问题

1．求解有关函数零点问题的常用方法与策略

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

(3)分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．

(4)构造新函数法（数形结合）：将问题转化为研究两函数图象的交点问题，先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

2．确定零点的个数问题

可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

3．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题

可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

4．利用导数硏究函数零点或方程根

通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究．

1．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f(x)=2aln

(1)讨论f(x)的零点个数；

(2)若f(x)有两个零点x1，x2x

【解题思路】（1）利用导数可求出fx的最小值为?1?2a

（2）由（1）可得0x11x2，fx在区间(1,+∞)上单调递增，则x1+x2与2的大小关系，等价于

【解答过程】（1）f′

因为a0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)0

当x∈(1,+∞)时，f′

所以f(x)

当?1?2a0，即a?12时，

当?1?2a=0，即a=?12时，

当?1?2a0，即?1

注意到0e1a

下面证明lnx≤x?1,x0

设?(x)=lnx?x+1,x0，所以

由?′(x)0解得0x1；由?′

则?(x)在0,1单调递增，1,+∞

所以?(x)≤?(1)=0，即lnx≤x?1

所以f(x)≥2a(x?1)+x2?2(a+1)x=

因此，?x1∈e1a,1

综上，当a?12时，f(x)的零点个数为0；当a=?12时，f(x)的零点个数为1；当

（2）证明：（证法一）由（1）可知，当a∈?12,0时，函数

令F(x)=f(2?x)?f(x)=2aln2?xx+2x?2，

当x∈(0,1)时，F′(x)0，所以F(x)在区间

所以Fx

所以f2?x1fx

又由（1）可知，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，所以2?x

（证法二）由fx1

则x1

由对数平均不等式x1?x

所以x1

所以x1+x2?2

2．（2023·江西九江·统考二模）已知函数f(x)=ex?a

(1)若直线y=gx与曲线y=fx相切，求

(2)用minm,n表示m，n中的最小值，讨论函数?(x)=

【解题思路】(1)根据已知切线方程求列方程求切点坐标，再代入求参即可；

(2)先分段讨论最小值，再分情况根据单调性求函数值域判断每种情况下零点个数即可.

【解答过程】（1）设切点为x0,y0

∴ex

消去a整理，得ex0

∴a=

（2）①当x∈(?∞,1)时，gx0，?(x)=min

②当x=1时，g1=0，

若a≤e，f1≥0，此时?x=g

若ae，f10，此时?x=f

③当x∈(1,+∞)时，gx0，此时

令f(x)=ex?ax2=0，得

当1x2时，φ′(x)0；当x2时，φ′(x)0，∴φx在1,2上单调递减，在

（i）若aφ2，即ae24时，fx在(1,+

（ii）若a=φ2，即a=e24时，fx在(1,+

（iii）若φ2aφ1，即e24ae时，f

（iv）若a≥φ1，即a≥e时，fx在(1,+∞)

综上所述，当ae24或ae时，

当a=e24或a=e时，

当e24ae时，?

3．（2023·湖南张家界·统考二模）已知函数fx=xln

(1)Fx=f

(2)若函数gx=?x

【解题思路】(1)求导研究函数单调性即可求得最值.

(2)分析函数的零点,本质上是分析函数的单调性与极值的问题,求导之后发现导数有一个零点含参,需对导数的该零点进行分类讨论,从而讨论函数单调性和极值的情况,结合极限,即可分析函数的零点个数.难点在于定义域是0,+∞

【解答过程】（1）由题意可得Fx=f

设F′x=1x?12=

则Fx在0,2上单调递增,在2,+

Fx

故Fx在0,+∞