新高考数学二轮复习解答题提分训练专题06 解三角形之求线段范围及最值(解析版).doc

专题06解三角形之求线段范围及最值

一、基本不等式求最值法

1．在中，角，，的对边分别是，，，且满足．

(1)求；

(2)若，是边上的高，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将两边同乘，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值，再根据求出的最大值.

【详解】（1）解：因为，

所以，

由正弦定理可得，

即，

因为，所以，

所以，则.

（2）解：因为，，

由余弦定理，即，

所以当且仅当时取等号，

所以，则，当且仅当时取等号，

所以，又，

所以，

故的最大值为.

2．已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：

(1)求角的大小；

(2)求边中线长的最小值.

条件①：;

条件②：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；

（2）由面积公式可得，利用向量可得，结合均值不等式即可求解.

【详解】（1）选条件①：,

因为中，所以，

由正弦定理可得，

即，，

又,所以.

选条件②：

由余弦定理可得即，

由正弦定理可得，

因为，所以，所以，即，

又,所以.

（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，

由平面向量可知，

所以

，

当且仅当时取等号，

故边中线的最小值为.

3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.

(1)求；

(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求解.

【详解】（1）选①时，，

利用正弦定理得：，

由于，所以，

故，

又，，整理得，

因为，故.

选②时，，利用正弦定理得：，

由于，所以，

即，

又，，，，

故，，故.

选③时，，

利用正弦定理得：，

又，，

整理得.

所以，

整理得，，故.

（2）由于的面积解得.在中，由余弦定理得

故，当且仅当，即，，的最小值为6.

4．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

在中，内角的对边分别为，且满足______．

(1)求角的大小：

(2)若的面积为，点在边上，且，求的最小值．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简得到，由此可得；若选②，利用正弦定理角化边，配凑出的形式，从而得到；

（2）利用三角形面积公式可构造方程求得；利用向量线性运算可用表示出，根据平面向量数量积的定义和运算律可表示出，利用基本不等式可求得的最小值，进而得到的最小值.

【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得：，

，

，，，即，

又，；

若选条件②，由正弦定理得：，，即，

，又，.

（2），，；

，

（当且仅当，即时取等号），

，即的最小值为.

5．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

(1)求角的大小；

(2)若为边上的高，若，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得，结合即可求解；

(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，即可求解.

【详解】（1），由正弦定理，

得，

由，

得，又，

所以，有，即，

又，所以；

（2）由，得，

由余弦定理及，

得，

当且仅当时取到等号.

所以，故，

即的最大值为1.

6．已知在中，角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用诱导公式化简给定等式，再利用正弦定理边化角即可求解作答.

（2）根据给定条件，利用向量数量积的运算律及性质，结合均值不等式求解作答.

【详解】（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，

而，即，则有，即，而，

所以.

（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,

于是得

，显然，当且仅当时取等号，

因此，，即，

所以的取值范围是.

7．在中,内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，点为的中点，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，边角互化求解即可；

（2）在和中分别利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理和基本不等式即可求解.

【详解】（1）根据正弦定理可得，

因为，，所以，

解得，所以.

（2）

设，，则，

在中由余弦定理得①，

在中由余弦定理得②，

由①+②可得，

在中由余弦定理得，

当且仅当时等号成立，

解得，即的最大值为.

8．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答