精品解析：北京市北京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月阶段检测数学试卷（原卷版）.docxVIP

北大附中2025届高三2月阶段检测

数学

2025.2

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.抛物线的准线方程为（）

A. B. C. D.

3.已知，，，则（）

A4 B.6 C.14 D.18

4.的展开式中，常数项等于（）

A.1 B.15 C. D.1

5.已知，且，则（）

A. B.

C. D.

6.已知函数，则下列正确是（）

A.的最小正周期为 B.在单调递减

C.在上单调递增 D.的最大值为

7.已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）

A1 B. C. D.2

8.设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

10.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，，若令，，，请依据上述算法，估算是（）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知为虚数单位，若复数满足，则________．

12.已知双曲线：和双曲线：有共同的渐近线，则______.

13.已知等比数列，记其前项乘积.若，则_________；的前4项和为_________.

14.已知函数，其中，若函数恒成立，则常数的一个取值为___________.

15.如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下.同理可定义处于的控制下.

给出下列四个结论：

①点处于的控制下；

②若点不处于的控制下，则其必处于的控制下；

③若处于控制下，则；

④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在中，角、、的对边分别为、、，．

（1）求；

（2）若的面积为，且，求的周长．

17.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：

测试

结果

真实

路况

传感器1

传感器2

传感器3

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

无障碍

4

15

1

1

15

4

8

12

0

有障碍

40

10

10

45

5

10

45

10

5

假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．

（1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；

（2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；

（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）

18.如图在三棱柱中，是等边三角形，．

（1）求证：；

（2）若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，

（i）求二面角的大小；

（ii）四棱锥的体积为________．（结论不要求证明）

条件①：；

条件②：平面平面．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19.已知椭圆的短轴长为，离心率为，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上异于，的一点，直线与直线相交于点，直线与椭圆交于另一点，是否存在点，使得直线恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20.已知函数．

（1）求曲线在点处切线方程；

（2）当时，求证：有最大值；

（3）