一元二次不等式恒成立问题及应对策略.pdf

干学生敦理化知识结构与拓展

高一数学202j年1月

需对二次项系数进行分类讨论。

●鞠萍

二、在自变量给定区间上的恒成立问题

例2对任意的z∈(1，4)，都有不等式

2

一元二次不等式恒成立问题是高考命题“j2一，+20恒成立，则实数“的取值范

中的一个基本考点，足构建“三个二次”(一元同为——。

二次不等式、一元二次方程与二次函数)问题解：(分离参数法)凶为刈’任意的z∈(1，

2

之间的联系与转化，也是实现综合应用的一4)，都有不等式“z2z+2o恒成立，所

个重要场景。下而就一元二次不等式恒成立以。掣对任意的。．∈(1，4)恒成立。设

问题的几种常见考查类型，结合典型实例，剖

析命题方式、解题技巧与应对策略。函数，(T)一掣一一三+三一一2

f土一

一、在R上的恒成立问题

例l2+

关于实数。r的不等式2是Lz÷)2+÷。南一∈c·，a，，叫‘得÷÷，，所

足、。

百o。以当{一丢，即．。一2日J．。，(、r)。、。一{，所以

Lz、zZ

(1)若是一l，求该不等式的解集。

(2)若该不等式对一切实数z恒成立，求“丢，即实数“的取值范围是(軎，+一)。

实数是的取值范同。(雨数法)南题设条件“z2—2z+20

解：(1)当是一1时，原不等式可化为恒成立，只需讨论“O的情况。令函数

2

2∥+。，～詈。，解得寻。，÷，所以当／(、r)一“z2z+2，_、∈(1，4)，则函数

。，(。’)的图像丌口向上，其划‘称轴为、r—

走一1时，该不等式的解集为(～寻，÷)。n1

一≠一二。对任意的z∈(1，4)，都有不等

2+是z

(2)已知不等式2是z寺o对一式“z2—2z+2o恒成立，需满足

切实数z恒成立，当是一。时，可得；of歹(÷)。，f÷导+2。，

解得＆

恒成立，即是一O满足题意；当是≠o时，要使{歹(1)o，所以{“2+2o，

l。，、(4)o，116“～8+2o，

不等式2是。r

2+忌_·～÷o对一切实数。．恒

^

f是O．丢，所以实数“的取值范围是(专，+一)。

成立，需满足《代人得

l△一厶。一4“(O，点评：解决一元二次不等式在自变量给

限O。