2025版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教学案理含解析北师大版.docVIP

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其次节平面对量的基本定理及坐标表示

[考纲传真]1.了解平面对量的基本定理及其意义.2.驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面对量共线的条件．

1．平面对量基本定理

(1)定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．

2．平面对量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up9(→))＝(x2－x1，y2－y1)，

|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

3．平面对量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线?x1y2－x2y1＝0.

eq\o([常用结论])

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．若G是△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up9(→))＋eq\o(GB,\s\up9(→))＋eq\o(GC,\s\up9(→))＝0，eq\o(AG,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→)))．

[基础自测]

1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ()

(2)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))的夹角为∠ABC. ()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的． ()

(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ()

[答案](1)×(2)×(3)×(4)√

2．(教材改编)已知平面对量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()

A．(－2，－1) B．(－2,1)

C．(－1,0) D．(－1,2)

D[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，

∴eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))

∴eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1,2)，故选D．]

3．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)

B[A项中e1∥e2，C项中e2＝2e1，D项中e1＝－e2，只有B项中e1，e2不共线，故a可以由e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)表示，故选B．]

4．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于()

A．2B．3C．4D．6

B[由a∥b可知2×6－4x＝0，∴x＝3.故选B．]

5．(教材改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

(1,5)[设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))]

平面对量基本定理及其应用

1．假如e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内全部向量的一组基底的是()

A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2 D