高中数学奥林匹克竞赛训练题(06).docVIP

数学奥林匹克高中训练题〔06〕

第一试

一、选择题〔此题总分值30分，每题5分〕

1．(训练题11)假设，那么实数集与具有的关系是(D)．

(A)(B)(C)(D)

xyO．．1-1xyO

x

y

O

．

．

1

-1

x

y

O

．

．

1

-1

x

y

O

．

．

1

-1

x

y

O

．

．

1

-1

-1

．

(A)

(B)

(C)

(D)

。

。

。

。

3．(训练题11)在中，是的(C)．

(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件

4．(训练题11)圆台两底面半径分别为和，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两局部．那么，截面圆半径是(B)．

(A)(B)(C)(D)无法确定

5．(训练题11)等差数列中，，公差，前项和是．那么有(C)．

(A)(B)(C)(D)

6．(训练题11)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点。那么，线段PQ中点的轨迹方程是(B)．

(A)(B)(C)(D)

二、填空题〔此题总分值30分，每题5分〕

1．(训练题11)函数那么它的反函数是．

2．(训练题11)复数的模且，，那么．

3．(训练题11)某市号码从六位升至七位，这一改可增加个拨号．

?ASFEBC4．(训练题11)

?

A

S

F

E

B

C

5．(训练题11)平面内有圆(如图)是直径，，是上一点．假设，那么二面角的平面角的余弦值是．

SCBAOD6．(训练题11)顶点在以轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，，且的重心在原点，那么过B，C两点的直线方程为．

S

C

B

A

O

D

三、(训练题11)(此题总分值20分)如图，四棱锥的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点，棱锥的高恒为3，．问当四棱锥取得最小体积时，底面是怎样的四边形？

四、(训练题11)(此题总分值20分)抛物线的焦点是．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由

五、(训练题11)(此题总分值20分)数列的首项，该数列是公比为的等比数列．记，．

(1)证明:当时，对一切，都有．

(2)当时，是否存在自燃数，使得对任何自然数，都有．

第二试

一、(训练题11)(此题总分值35分)为的垂心，分别是中点，一个以为圆心的交直线于．求证：．

二、(训练题11)(此题总分值35分)假设是素数，证明存在的一个排列，使得被n除的余数各不相同．

三、(训练题11)(此题总分值35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，那么无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？

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