平面问题有限元解法(公式推导讲解).pptVIP

虚位移原理(续)*南京农业大学工学院机械工程系代入虚功方程，得：上式为集中力作用下的虚功方程。集中力列阵（13）虚位移列阵（14）外力在虚位移上所做的功为：三角形单元离散化结构分析步骤*南京农业大学工学院机械工程系（1）取三角形单元的结点位移为基本位置量： (a)其中，称为单元的结点位移列阵；（2）应用插值公式，由单元结点位移求出单元的位移函数： (b)其中，N称为形函数矩阵；（3）应用几何方程，由单元的结点位移求出单元的应变： (c)其中，B是表示与之间关系的矩阵；三角形单元离散化结构分析步骤(续）*南京农业大学工学院机械工程系 (f)其中，Fe是单元的结点力，k称为单元劲度列阵； 对三角形板单元，节点力为：(e)（5）应用虚功方程，由单元的结点应力求出单元的结点力。假设把单元和节点切开，对右图中的i节点：节点对单元的作用力为节点力，作用于单元上。（4）应用物理方程，由单元的结点位移求出单元的应力： (d)其中，S称为应力转换矩阵； Fe是作用于单元的外力，此外，单元内部还作用有应力。根据虚功方程，可以将单元的节点力Fe用应力来表示，从而得到节点力的公式：三角形单元离散化结构分析步骤(续）*南京农业大学工学院机械工程系（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。由于节点i受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷和节点力因而i节点的平衡方程为： （i=1,2,…,n）(h)（6）应用虚功方程，将单元中的外力载荷向结点移置，化为结点载荷（即求出单元的节点载荷）： (g)将（f）代入（h），整理得：（j)其中，K称为整体刚度矩阵，FL是整体结点载荷列阵，δ是整体结点位移列阵。在上述求解步骤中，（2）至（6）是针对每个单元进行的，称为单元分析；（7）是针对整个结构进行的称为整体分析。对三角形三个结点i,j,m结点，位移函数应当等于该节点的位移值，即：1对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应变，再应用物理方程求得应力。有限单元法中常取结点位移为基本未知量，由单元的结点位移求出单元中的位移函数是首先必须解决的问题。可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元中，可以假定位移分量只是坐标的线性函数，即假定：26个方程解出α1-6，代入u，v式整理得：3其中：4三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式*南京农业大学工学院机械工程系Ni也可以该写成为：其中系数ai,bi,ci是：按照解析几何学，在图示的坐标系中，为了得出的面积A不致成为负值，节点i，j，